Seja uma função derivável num intervalo aberto que contém e tal que
Para todo . A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:
Passo 1
Essa questão ta pedindo pra gente a equação da reta tangente. Beleza então, vamos modelar. A equação vai ser:
Onde é o ponto de tangência e é a inclinação da reta tangente, calculada por:
Como o ponto de tangência a gente já tem, que é , a equação da reta fica:
Pra fechar essa equação vai faltar então achar e . Então partiu!
Passo 2
Calculando
A questão já da o pulo do gato pra gente. Veja bem: se é um ponto de tangência, então ele é um ponto sobre a curva ! Como temos, do enunciado:
Se aplicarmos o ponto de tangência ficamos com:
Agora pra resolver isso, vamos pensar no seguinte:
Então vamos ter:
Se entendermos o lado esquerdo como uma função de :
Vamos estar procurando as raízes de . Sendo uma função estritamente crescente, só um valor de é resultado dessa igualdade: o valor . Veja bem:
Então achamos o valor de , que será:
Passo 3
Calculando
Bem, a gente não tem a expressão de pra derivar explicitamente. Mas isso não quer dizer que implicitamente não role! Bora lá tentar então. Derivando dos dois lados:
No primeiro caso, rola uma regra da cadeia, e a derivada fica:
E no segundo caso, a regra do produto, e a derivada fica:
Show, derivação implícita feita. Aplicando agora o ponto de tangência , temos:
Mas como , ficamos com:
Passo 4
Juntando tudo
Bem, já calculamos e . Agora é só aplicar os valores na equação da reta e partir pro abraço. Saca só:
O que por fim, vira:
Fechado então. A resposta é a letra E