Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Seja f uma função derivável num intervalo aberto I que contém 1 e tal que

f x 3 + x 2 f x = 2

Para todo x ∈ I . A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 é:

  1. y = x 2 - 1
  2. I n e x i s t e n t e
  3. y = x + 2
  4. y = x 2 - 3 2
  5. y = - x 2 + 3 2

Passo 1

Essa questão ta pedindo pra gente a equação da reta tangente. Beleza então, vamos modelar. A equação vai ser:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto de tangência e m é a inclinação da reta tangente, calculada por:

m = f ' x 0

Como o ponto de tangência a gente já tem, que é 1 , f 1 , a equação da reta fica:

y - f 1 = f ' 1 x - 1

Pra fechar essa equação vai faltar então achar f 1 e f ' 1 . Então partiu!

Passo 2

Calculando f 1

A questão já da o pulo do gato pra gente. Veja bem: se 1 , f 1 é um ponto de tangência, então ele é um ponto sobre a curva f x ! Como temos, do enunciado:

f x 3 + x 2 f x = 2

Se aplicarmos o ponto de tangência ficamos com:

f 1 3 + 1 2 f 1 = 2

f 1 3 + f 1 = 2

Agora pra resolver isso, vamos pensar no seguinte:

f 1 = k

Então vamos ter:

k 3 + k = 2

k 3 + k - 2 = 0

Se entendermos o lado esquerdo como uma função de k :

g k = k 3 + k - 2

Vamos estar procurando as raízes de g k . Sendo g k uma função estritamente crescente, só um valor de k é resultado dessa igualdade: o valor k = 1 . Veja bem: g 1 = 1 3 + 1 - 2 = 2 - 2 = 0

Então achamos o valor de f 1 , que será:

f 1 = 1

Passo 3

Calculando f ' 1

Bem, a gente não tem a expressão de f x pra derivar explicitamente. Mas isso não quer dizer que implicitamente não role! Bora lá tentar então. Derivando dos dois lados:

f x 3 + x 2 f x ' = 2 '

f x 3 ' + x 2 f x ' = 0

No primeiro caso, rola uma regra da cadeia, e a derivada fica:

3 f x 2 f ' x + x 2 f x ' = 0

E no segundo caso, a regra do produto, e a derivada fica:

3 f x 2 f ' x + x 2 f ' x + 2 x f x = 0

Show, derivação implícita feita. Aplicando agora o ponto de tangência 1 , f 1 , temos:

3 f 1 2 f ' 1 + f ' 1 + 2 f 1 = 0

Mas como f 1 = 1 , ficamos com:

3 f ' 1 + f ' 1 + 2 = 0

4 f ' 1 + 2 = 0

f ' 1 =   - 2 4 = - 1 2

Passo 4

Juntando tudo

Bem, já calculamos f 1 e f ' 1 . Agora é só aplicar os valores na equação da reta e partir pro abraço. Saca só:

y - f 1 = f ' 1 x - 1

y - 1 = - 1 2 x - 1

y - 2 2 = - x 2 + 1 2

y = - x 2 + 1 2 + 2 2

O que por fim, vira:

y = - x 2 + 3 2

Fechado então. A resposta é a letra E

Resposta

L e t r a   E

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