Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Encontre os pontos da curva x 2 - x y + y 2 = 3 onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Lembra que a inclinação da reta tangente é dada pela derivada de y ?

Uma das fórmulas da reta é y = a x + b , onde a vai ser a “inclinação” da reta. Se a reta é horizontal ela fica assim

Repara que o y não varia nesse caso, então a = 0 , que é o mesmo que falar que

y ' = 0

Passo 2

Vamos agora derivar implicitamente em função de x a equação.

x 2 - x y + y 2 ' = 3 '

2 x - y - x y ' + 2 y y ' = 0

Como y ' = 0

2 x - y = 0

x = y 2

Passo 3

Para termos um ponto precisamos achar duas coordenadas. Vamos pegar o valor de x e substituir na equação da curva, já que o ponto está nela.

Para x = y 2

y 2 4 - y 2 ⋅ y + y 2 = 3

y 2 - 2 y 2 + 4 y 2 = 12

3 y 2 = 12 → y 2 = 4

y = ± 2 → x = y 2 = ± 1

Os pontos são

1,2  

- 1 , - 2

Resposta

1,2  

- 1 , - 2

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