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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva plana dada pela equação

x 3 + x y 2 - 2 y 3 cos ⁡ x + y tg ⁡ x 3 + 2 y 2 = 0

Determine equações da reta tangente e da reta normal a esta curva no ponto 0 ,   1 .

Passo 1

Pra calcular as equações dessas retas, precisamos da derivada y ' , então vamos derivar implicitamente a equação da curva.

Pra não confundir, vamos derivar cada termo separadamente.

O primeiro é fácil:

x 3 ' = 3 x 2

Pro segundo, temos que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia:

x y 2 ' = 1 . y 2 + x . 2 y . y ' = y 2 + 2 x y y '

Pro terceiro também:

- 2 y 3 cos ⁡ x ' = - 6 y 2 . y ' cos ⁡ x + 2 y 3 . - sen ⁡ x = - 6 y 2 y ' cos ⁡ x + 2 y 3 sen ⁡ x

Pro quarto termo:

y tg ⁡ x 3 ' = y ' tg ⁡ x 3 + y . sec 2 ⁡ x 3 . 3 x 2

Finalmente, o último:

2 y 2 ' = 4 y y '

Juntando tudo:

3 x 2 + y 2 + 2 x y y ' - 6 y 2 y ' cos ⁡ x + 2 y 3 sen ⁡ x + y ' tg ⁡ x 3 + y sec 2 ⁡ x 3 3 x 2 + 4 y y ' = 0

Passo 2

Ele quer as equações das retas no ponto 0 ,   1 , então vamos substituir todos os x por 0 e os y por 1 :

3 . 0 + 1 2 + 2 . 0.1 y ' - 6 . 1 2 y ' cos ⁡ 0 + 2 . 1 3 sen ⁡ 0 + y ' tg ⁡ 0 3 + 1 sec 2 ⁡ 0 3 3 . 0 2 + 4 . 1 y ' = 0

Vai dar pra cortar praticamente tudo aí! Só vai sobrar:

1 - 6 y ' + 4 y ' = 0

2 y ' = 1

⇒ y ' = 1 2

Só uma observação: essa derivada é no ponto 0 ,   1 , então seria mais rigoroso escrever

y ' 0 = 1 2

Passo 3

Show, agora é só jogar na equação da reta tangente:

y - y 0 = m x - x 0

No caso, temos x 0 = 0 ,   y 0 = 1 e m = y ' 0 = 1 2 , então:

y - 1 = 1 2 x - 0

⇒ y = 1 2 x + 1

Passo 4

E pra achar a equação da reta normal, basta lembrar que o produto do coeficiente angular dela com o coeficiente angular da reta tangente dá - 1 .

A equação da reta normal é nessa forma:

y = a x + b

Ou seja, seu coeficiente angular é a , e temos que:

a . 1 2 = - 1

a = - 2

⇒ y = - 2 x + b

Passo 5

Usando que a reta passa pelo ponto 0 ,   1 :

y 0 = 1

- 2.0 + b = 1

b = 1

⇒ y = - 2 x + 1

Pronto, essa é a equação da reta normal! :)

Resposta

y t a n g e n t e = 1 2 x + 1

y n o r m a l = - 2 x + 1

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