4. Determine uma reta que seja paralela à reta e que seja tangente à curva .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que encontrar a equação da reta tangente de uma função. Para quem não lembra, a equação da reta tangente tem essa cara aqui:
Onde, é a coordenada da função onde passa a reta tangente e é a derivada no ponto que ela passa.
O enunciado nos forneceu a seguinte função,
Porém eles não nos forneceu os pontos da curva. Mas nos disse uma equação cuja a nossa reta tangente é paralela, então vamos comparar as duas para resolver esse problema.
Bora aplicar!
Passo 2
Para construir a nossa equação da reta tangente, vamos precisar derivar a nossa função para encontrar o termo .
Mas repara que temos uma função implícita (ou seja, não esta isolado) para derivar. E quando derivamos implicitamente, derivamos em função de e em função de . Porém, os termos obtidos a partir da derivação de são acompanhados .
Derivando a nossa função implicitamente, ficamos com,
Isolando
Mas queremos encontrar o nosso . Então temos que substituir as nossas variáveis por e (que são as coordenadas do ponto que a nossa reta tangente corta).
Agora vamos comparar esse resultado com o que o enunciado forneceu!
Passo 3
O enunciado nos disseuma informação muito valiosa! Que a nossa reta tangente é paralela a reta . Então temos que o coeficiente angular dessa reta é .
E para quem não lembra, se as retas são paralelas, elas possuem o mesmo coeficiente angular.
Agora repara que o nosso termo, é, justamente, o coeficiente angular da nossa equação da reta. Logo,
Agora precisamos saber quem é e .
Passo 4
Para descobrir as nossas coordenadas, vamos precisar montar um sistema.
A primeira equação nós tiramos da função fornecida pelo enunciado. Pois se representam um ponto na curva. Temos que a seguinte equação é verdade:
A segunda equação nós tiramos do Passo 3, pela expressão do coeficiente angular:
Ajeitando,
Opaaa! Já podemos substituir essa igualdade na função dada pelo problema:
Ou seja, .
Agora vamos voltar para equação original da nossa reta tangente!
Passo 5
Tinhamos que,
Substituindo pelos termos que encontramos acima: , e . Ficamos com
Mas repra que e também podem ser positivos (vimos essa possibilidade no passo anterior). Então também podemos ter: