Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

Ver Teoria

Enunciado

Encontre a equação da reta tangente à curva cissóide de Diocles

y 2 2 - x = x 3

No ponto 1,1 .

Passo 1

Bom, assim como qualquer reta tangente à uma curva, tendo y em função de x , o coeficiente angular a , se a reta for modelada por y = a x + b vale a derivada y ' no ponto em questão. Substituindo o ponto na equação da reta podemos descobrir o coeficiente linear.

Vamos derivar essa curva estranha aí usando Regra do Produto, da Cadeia e a derivação Implícita:

y 2 2 - x ' = x 3 '

y 2 ' 2 - x + y 2 2 - x ' = 3 x 2

2 y y ' 2 - x + y 2 - 1 = 3 x 2

2 y y ' 2 - x = 3 x 2 + y 2

y ' = 3 x 2 + y 2 2 y 2 - x

Passo 2

Então, o a da nossa reta valerá y ' 1,1 , o que substituindo vai dar o seguinte:

a = 3 1 2 + 1 2 2 1 2 - 1 = 3 + 1 2 1 1

= 4 2 = 2

Esse é o coeficiente angular. Para descobrir o b , o linear, substituímos:

y = a x + b → 1 = 2 1 + b

b = - 1

Nossa reta é, portanto, y = 2 x - 1 .

Resposta

y = 2 x - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , 0 , 1 2 (cardioide)
Encontre as equações de ambas as retas tangentes para a elipse x 2 + 4 y 2 = 36 que passem pelo ponto ( 12 ,3 ) .
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja,
28. Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - 4 y ² = 12 ² , ( 2,1 ) (elipse)