Unicamp, Cálculo 1, 2019.2, P2, Questão 1.
Considere a curva definida pela equação . Calcule e encontre a equação da reta tangente a curva no ponto ().
Passo 1
Então pessoal, vamos dar uma olhada nessa equação que o enunciado deu:
De cara ela já traz um problema: o e o estão misturados na função! Isso quer dizer que a derivada que queremos calcular está implícita:
O primeiro passo pra calcular essa derivada implícita é simplesmente derivar os dois lados e relação a :
Do lado direito, a derivada da constante vai dar zero, então:
E do lado esquerdo, a gente pode separar em três derivadas:
Beleza, vamos olhar pra cada uma dessas derivadas.
Passo 2
A derivada de é mais fácil, a gente pode usar as regras de sempre:
Ok, agora a derivada de é um pouco mais perigosa. A variável da função é o , mas estamos derivando em relação a .! Temos que lembrar da regra da cadeia:
Então:
Ok, por enquanto estamos assim:
Passo 3
Ali naquele último termo, a gente precisa primeiro usar a regra do produto normalmente:
O primeiro termo do parênteses é tranquilo, porque estamos derivando em relação a :
O segundo vai ficar por ali mesmo, não tem como simplificar mais. Então, voltando na expressão lá de cima:
Beleza, vamos escrever como , pra simplificar a notação:
Agora já deve dar pra isolar o . Primeiro vamos colocar ele em evidência:
Arrumando um pouco essa expressão:
Pronto! Já resolvemos a primeira parte do problema.
Passo 4
Agora a gente quer calcular a inclinação da reta que é tangente à curva no ponto .
Só lembrando, a curva é essa aqui:
E a reta tangente tem que ter uma equação dessa forma aqui:
O coeficiente angular é simplesmente a derivada que acabamos de calcular. Vamos ver qual o valor dela no ponto :
Simplificando um pouco a fração:
Então por enquanto a equação é:
Passo 5
E agora fica faltando calcular . A gente pode fazer isso usando o ponto :
Então:
Pronto! Essa é a equação da reta tangente à curva naquele ponto.
Resposta
A derivada implícita é , e a equação da reta tangente à curva no ponto é .