6. Sabeno que o ponto pertence à curva e que a equação da reta tangente à curva nesse ponto é dada por , determine e .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que encontrar a equação da reta tangente de uma função. Para quem não lembra, a equação da reta tangente tem essa cara aqui:
Onde, é a coordenada da função onde passa a reta tangente e é a derivada no ponto que ela passa.
O enunciado nos forneceu a seguinte função,
E nos forneceu , e a equação da reta tangente. Então vamos usar essas informações tentar descobrir quem é e .
Bora aplicar!
Passo 2
Para construir a nossa equação da reta tangente, vamos precisar derivar a nossa função para encontrar o termo .
Mas repara que temos uma função implícita (ou seja, não esta isolado) para derivar. E quando derivamos implicitamente, derivamos em função de e em função de . Porém, os termos obtidos a partir da derivação de são acompanhados .
Derivando a nossa função implicitamente, ficamos com,
Isolando
Mas queremos encontrar o nosso . Então temos que substituir as nossas variáveis por e (que são as coordenadas do ponto que a nossa reta tangente corta).
Agora vamos achar a nossa reta tangente em função de .
Passo 3
Tinhamos que,
Substituindo pelos termos que encontramos acima: , e Ficamos com
Agora vamos comparar essa informação com a equação fornecida pelo o enunciado.
Passo 4
O enunciado nos forneceu a equação da reta tangente,
Isolando , ficamos com
Além disso, nós encontramos a seguinte equação,
Igualando as duas,
Comparando os coefientes angulares (termo que acompanha ),
Agora vamos encontrar .
Passo 5
Para determiner , vamos usar a nossa função original,
Substituindo o ponto
Como , temos que