Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva definida pela equação x y 3 - x 5 y 2 = 4 . Calcule y ' e encontre a aproximação linear à curva no ponto 1,2 .

Passo 1

Temos ali uma função implícita. Para fazer a aproximação linear (que é a reta tangente à curva) no ponto 1,2 precisamos do valor de y ' 1,2 , para o qual precisamos da fórmula implícita de y ' . Para isso, vamos derivar implicitamente o termo pelas Regras do Produto e da Cadeia:

x y 3 ' - x 5 y 2 ' = 4 '

x ' y 3 + x y 3 ' - x 5 ' y 2 - x 5 y 2 ' = 0

y 3 + 3 y 2 x y ' - 5 x 4 y 2 - 2 y x 5 y ' = 0

y ' 3 y 2 x - 2 y x 5 = 5 x 4 y 2 - y 3

y ' = 5 x 4 y 2 - y 3 3 y 2 x - 2 y x 5

Eis o nosso y ' em função de x e de y .

Passo 2

Esse y ' será o coeficiente angular a de uma reta modelada por y = a x + b . Vamos calculá-lo em 1,2 :

y ' = 5 1 4 2 2 - 2 3 3 2 2 1 - 2 2 1 5

= 20 - 8 12 - 4 = 12 8

= 3 2

Já temos o coeficiente angular. Para determinar o coeficiente linear b devemos substituir o ponto na reta modelada:

y = a x + b → 2 = 3 2 1 + b

b = 1 2

A aproximação linear será, portanto: y = 3 x + 1 2

Resposta

y = 3 x + 1 2

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