Considere a curva definida pela equação x^6 + y^6 + 8xy + 6 = 0 . Calcule y' e encontre a aproximação linear à curva no ponto (1, -1) .

Passo 1

Temos ali uma função implícita. Para fazer a aproximação linear (que é a reta tangente à curva) no ponto 1 , - 1 precisamos do valor de y ' 1 , - 1 , para o qual precisamos da fórmula implícita de y ' . Para isso, vamos derivar implicitamente o termo pelas Regras do Produto e da Cadeia:

x 6 ' + y 6 ' + 8 x y ' + 6 ' = 0 '

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 x ' y + 8 x y ' + 0 = 0

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 y + 8 x y ' = 0

y ' 6 y 5 + 8 x = - 6 x 5 + 8 y

y ' = - 6 x 5 + 8 y 6 y 5 + 8 x

Eis o nosso y ' em função de x e de y .

Passo 2

Esse y ' será o coeficiente angular a de uma reta modelada por y = a x + b . Vamos calculá-lo em 1 , - 1 :

y ' = - 6 1 5 + 8 - 1 6 - 1 5 + 8 1

= - 6 - 8 - 6 + 8 = - - 2 2

= 1

Já temos o coeficiente angular. Para determinar o coeficiente linear b devemos substituir o ponto na reta modelada:

y = a x + b → ( - 1 ) = 1 1 + b

b = - 2

A aproximação linear será, portanto: y = x - 2

Resposta

y = x - 2

Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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