Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

A função x 3 + y 3 = 6 x y é conhecida como fólio de Descartes. Encontre a equação da reta tangente à função no ponto ( 3,3 ) .

(a) 2 x + y = 7

(b) x - y = 6

(c) - x + 2 y = 6

(d) x + y = 6

(e) 2 x + y = 6

Passo 1

Esse é um caso de derivação implícita. Mais uma vez, o segredo aqui é não pensar demais, vamos simplesmente derivar os dois lados em relação a x e depois arrancar a resposta:

x 3 + y 3 = 6 x y

d d x x 3 + y 3 = d d x ( 6 x y )

d d x x 3 + d d x y 3 = d d x ( 6 x y )

Vamos analisar essas três derivadas com cuidado.

Passo 2

A primeira é a mais simples:

d d x x 3 = 3 x 2

A segunda exige a regra da cadeia:

d d x y 3 = d y 3 d y d y d x = 3 y 2 d y d x

E a terceira exige a regra da cadeia:

d d x 6 x y = 6 d d x x y = 6   y d d x x + x d y d x

d d x 6 x y = 6 y + 6 x d y d x

Passo 3

Agora vamos voltar na equação lá de cima:

d d x x 3 + d d x y 3 = d d x ( 6 x y )

3 x 2 + 3 y 2 d y d x = 6 y + 6 x d y d x

Nosso objetivo é calcular d y / d x , então vamos isolar isso:

3 x 2 - 6 y = d y d x 6 x - 3 y 2

d y d x = 3 x 2 - 6 y 6 x - 3 y 2 = x 2 - 2 y 2 x - y 2

Passo 4

Beleza, agora temos a derivada da função, e podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente no ponto ( 3,3 ) :

d y d x = x 2 - 2 y 2 x - y 2

d y d x = 3 2 - 2 ( 3 ) 2 3 + 3 2 = 9 - 6 6 - 9 = 3 - 3 = - 1

Ok, agora usando esse coeficiente angular podemos obter a equação da reta tangente usando aquela fórmula famosa:

- 1 = y - y 0 x - x 0 = y - 3 x - 3

3 - x = y - 3

y + x - 6 = 0

Pronto, essa é a equação da reta tangente.

Resposta

Letra (d).

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