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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Seja y = f x uma função derivável dada implicitamente pela equação

x 2 + y 2 2 = 25 3 y 2 - x 2

A reta tangente ao gráfico de f no ponto - 1,2 é paralela à reta de equação:

  1. x - 2 y + 3 = 0
  2. 11 x + 2 y - 3 = 0
  3. 11 x - 2 y + 3 = 0
  4. x + 2 y - 3 = 0
  5. 11 x - y = 0

Passo 1

Esse enunciado quer dar um trabalho extra pra gente. Não tem jeito, vamos ter que ter esse trabalho. Na equação genérica de uma reta tangente:

y = a x - x 0 + y 0

Temos a = y ' x 0 como o coeficiente angular da reta e P = x 0 , y 0 é como o ponto de tangência. Veja bem, retas paralelas possuem o mesmo valor de a ! Mas nesse enunciado não da pra ver o valor de a direito porque ele não está explícito. Vamos rearrumar então ele. Começando pela letra A em diante:

A )   x - 2 y + 3 = 0         →         2 y = x + 3         →         y = 1 2 x + 3 2         →         a = 1 2

B )   11 x + 2 y - 3 = 0         →         2 y = - 11 x + 3         →         y = - 11 2 x + 3 2         →         a = - 11 2

C )   11 x - 2 y + 3 = 0         →         2 y = 11 x + 3         →         y = 11 2 x + 3 2         →         a = 11 2

D )   x + 2 y - 3 = 0         →         2 y = - x + 3         →         y = - 1 2 x + 3 2         →         a = - 1 2

E )   11 x - y = 0         →         y = 11 x         →         a = 11

Belê. Agora sim a gente começa a questão!

Passo 2

Lembra da equação da reta tangente no início do passo 1 ? Bem, como sabemos o ponto de tangência, conseguimos calcular o valor de a . Afinal:

P = x 0 , y 0 = - 1,2

x 0 = - 1

y 0 = 2

a = y ' x 0 = y ' - 1

A gente não consegue derivar y explicitamente, mas implicitamente rola. Então partiu! Derivando em relação à x : x 2 + y 2 2 = 25 3 y 2 - x 2

x 2 + y 2 2 ' = 25 3 y 2 - x 2 '

2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 ' = 25 3 y 2 ' - x 2 '

2 x 2 + y 2 x 2 ' + y 2 ' = 25 3 2 y y ' - 2 x

2 x 2 + y 2 2 x + 2 y y ' = 25 3 2 y y ' - 2 x

Aplicando a distributiva:

4 x x 2 + y 2 + 4 y y ' x 2 + y 2 = 50 3 y y ' - 50 3 x

E rearranjando pra por o y ' em evidência:

4 y y ' x 2 + y 2 - 50 3 y y ' = - 4 x x 2 + y 2 - 50 3 x

y ' 4 y x 2 + y 2 - 50 3 y = - 4 x x 2 + y 2 - 50 3 x

y ' = - 4 x x 2 + y 2 - 50 3 x 4 y x 2 + y 2 - 50 3 y

Passo 3

Agora pra achar a = y ' x 0 = y ' - 1 basta substituir x = x 0 = - 1 e y = y 0 = 2 . Só pra não confundir, vou fazer pro x primeiro:

a = - 4 - 1 - 1 2 + y 2 - 50 3 - 1 4 y - 1 2 + y 2 - 50 3 y

a = 4 1 + y 2 + 50 3 4 y 1 + y 2 - 50 3 y

Agora pro y :

a = 4 1 + 2 2 + 50 3 4 . 2 . 1 + 2 2 - 50 3 . 2 = 4 1 + 4 + 50 3 8 1 + 4 - 100 3 = 4 . 5 + 50 3 8 . 5 - 100 3 = 20 + 50 3 40 - 100 3

a = 60 3 + 50 3 120 3 - 100 3 = 110 3 20 3 = 110 20 = 11 2

A Letra que tem a opção a = 11 2 é a Letra C ! Fechamos!

Resposta

L e t r a   C

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