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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Exercício 3812345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637394041424344454647

Enunciado

Seja c uma constante positiva. Mostre que a soma das coordenas das interseções com o eixo X e Y de qualquer reta tangente a curva:

x + y = c

É constante e igual a c .

Passo 1

O enunciado está falando da reta tangente, então precisamos encontrá-la. A equação geral da reta tangente num ponto qualquer ( x 0 , y 0 ) é:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Opa! Precisamos achar a derivada no ponto y ' x 0 .

Passo 2

Bem, vamos fazer então usando derivação implícita para achar y ' x 0

x + y ' = c ' ⟹ 1 2 x + 1 2 y y ' = 0 ⟹ y ' = - 1 2 x ⋅ 2 y = - y x

No ponto x 0 , y 0 :

y ' x 0 = - y 0 x 0

Show! Agora, substituindo:

y - y 0 = - y 0 x 0 x - x 0

Passo 3

Queremos mostrar que a soma das coordenadas das interseções dá c . Então, vamos calcular as interseções. A reta corta o eixo y quando x = 0 :

y - y 0 = - y 0 x 0 ⋅ x 0 ⟹ y = y 0 x 0 + y 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a interseção com o eixo x , que ocorre quando y = 0 :

0 - y 0 = - y 0 x 0 x - x 0 ⟹ - x y 0 x 0 - y 0 x 0 + y 0 = 0

Isolando x :

x y 0 x 0 = y 0 - y 0 x 0 ⟹ x = x 0 y 0 y 0 - x 0 y 0 = x 0 y 0 - x 0

Passo 5

Agora vamos somar as coordenadas e torcer para dar c :

x + y = y 0 x 0 + y 0 + y 0 x 0 + x 0 = x 0 + 2 y 0 x 0 + y 0 = x 0 + y 0 2

Pela equação fornecida:

x + y = c

Logo, no ponto x 0 , y 0 :

x 0 + y 0 = c

E, portanto:

x + y = x 0 + y 0 2 = c 2 = c

Como queríamos mostrar!

Resposta

x + y = x 0 + y 0 2 = c 2 = c

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