Determine a extensão ímpar da função para .
Encontre a série de Fourier de senos da extensão ímpar da função para .
Passo 1
Para encontrar uma extensão ímpar da função , definimos:
Passo 2
Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período . Isto é, . Portanto, .
Assim, a série é dada por senos (já que ela é ímpar):
Passo 3
Vamos avaliar os coeficientes da série:
Mas como e são ímpares, o produto é par. Logo, ambas as integrais acima são iguais:
Passo 4
Mas como , segue que
Assim, temos:
Passo 5
Finalmente, podemos fazer , , para pegar os coeficientes ímpares:
Como
obtemos:
Resposta