Determine , de modo que
Seja mínimo.
Passo 1
b)
Galera, pensa comigo, pra minimizar aquela integral que ele quer, basta minimizar o cara ao quadrado
Repara que o período da integral é de a , isso nos dá uma ideia de que queremos uma extensão da função na verdade, isso porque ela só está definida naquele intervalo que ele deu.
𝐴 gente pode pensar no seguinte, a gente usa série de Fourier para aproximar funções, certo?
E se fizemos essa função que esta subtraindo de tender a ela mesma, opa, então esse cara vai tender a ser cada vez menor, estamos minimizando!
Então vamos calcular os coeficientes da série de Fourier da extensão de e eles serão e !
O primeiro detalhe é, mas qual a extensão que vamos tomar, a par ou a ímpar? Como queremos que apareça só seno ali vamos pegar a extensão ímpar daquela função.
Mas cuidado, estamos fazendo isso porque o termo que tá dentro da integral está a cara da série de Fourier, mas perceba que são os termos do somatório em e .
Assim
Sempre que ele pedir para minimizar essa parada é só fazer desse jeito.
Passo 2
A primeira coisa a fazer é a extensão ímpar daquela função, vamos chamar essa extensão ímpar.
Nesse caso só queremos os coeficientes da série de Fourier, então não vamos nos preocupar em achar o gráfico dessa extensão nem nada. Lembrando que quando pegamos uma extensão ímpar de vamos ter
E
A grande questão é, qual o limite dessa parada? Repara que eu falei de uma extensão ímpar daquela função que está no intervalo de à , então o nosso período vai ser , isso nos diz que
E
Então
Passo 3
Vamos agora achar e , começando com
Podemos escrever essa integral assim
Lembrando que
Vamos ter
Passo 4
Vamos agora achar
Podemos escrever essa integral assim
Lembrando que
Vamos ter
Passo 5
Então vamos ter