Séries de Fourier, Séries de Fourier – funções pares e ímpares
Seja .
- Determine uma extensão ímpar periódica de período de .
- Determine a série de Fourier de senos que representa para .
- Determine o gráfico da série de Fourier obtida no item (b) no intervalo .
Passo 1
Letra c)
A letra c é a que pede o gráfico da série de Fourier, mas vamos fazer logo aqui porque isso ajuda muito para visualizar a questão, ok? Vamos lá. Graficamente é isso aqui:
Essa é a definição de que o problema deu:
Vamos fazer a extensão ímpar dessa função. Primeiro nós espelhamos ela em relação ao eixo
Espelhamos essa reta verde no eixo :
O período de é então essa parte azul mais a vermelha! É só repetir isso aí.
Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!
Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:
Nós colocamos então as bolinhas cheias em (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades). Não poderia ser diferente, né? Uma extensão periódica ímpar sempre apresenta:
Como a gente já viu. Isso é muito importante! Não se esqueça!
Passo 2
Letra a)
Agora vamos fazer essa extensão matematicamente.
A definição de uma função ímpar diz que
Escrevemos porque estamos falando da extensão de , ok? Como a extensão tem período , podemos dizer que:
Beleza, vamos fazer isso aí. Como o período é , precisamos definir a função em e repetir esse padrão. Está faltando a definição de entre e .
Para :
Essa é a equação da reta vermelha.
Para :
Essa é a equação da reta azul. Se você se confundir com a definição de função ímpar, também pode encontrar a equação dessa reta usando o gráfico! A reta passa nos pontos e .
Não podemos nos esquecer de que na origem e em a função deve valer zero.
Então temos que:
Como a função é periódica, isso se repete
Passo 3
Letra b)
Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos o seguinte:
Como o período da função é como o enunciado pediu, temos:
Passo 4
Vamos calcular os ’s. Temos que:
Agora vamos substituir a expressão de :
Agora vamos fazer a integração por partes:
Beleza, agora, se a gente lembrar que
Temos o seguinte:
Além disso, sabemos que
Logo,
Passo 5
Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:
O que nos dá