Seja
Encontre uma série de Fourier de cossenos que convirja para a função (Sugestão: considere a extensão par de ). Para que valor converge essa série em ?
Passo 1
Vamos seguir a dica e calcular a extensão par da função. Primeiro identificamos o período . Isto é, . Lembrando da formula para extensão de função par.
Aplicando pro nosso caso nós teremos a seguinte função.
Agora que temos uma função periódica podemos calcular a série de Fourier de cossenos dessa série.
Passo 2
Lembrando da fórmula da série para cossenos.
Vamos avaliar os coeficientes da série:
Passo 3
Para o termo geral , temos:
Resolvendo essa integral manjada de
Passo 4
Então, temos o seguinte:
Lembrando um pouquinho de trigonometria nós sabemos que
Mas então nosso termo será.
Passo 5
Assim a nossa função será
Agora vamos analisar o valor dessa função para Esse é um ponto de descontinuidade e para que a série de Fourier convirja temos que pontos como esse devem assumir o seguinte valor.
No nosso caso.
Passo 6
b)
Vamos seguir a dica de novo e fazer a expansão impar dessa vez. Lembrando da fórmula.
Vamos aplicar isso na nossa função.
Agora podemos partir pro calculo da série de Fourier em senos.
Passo 7
Lembrando da formula para esse caso.
Onde
Aplicando para o nosso caso.
Resolvendo a integral de
Assim teremos
Mas nós já vimo o que vai acontecer com
Assim a nossa função será.
Passo 8
Agora devemos analisara convergência em que vai ser basicamente a mesma coisa. Para que a série convirja deve assumir aquele mesmo valor.
Resposta
a)
b)