Seja a função ímpar, periódica de período e tal que se .
Encontre a série de Fourier de .
Mostre que
Passo 1
Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período . Portanto, .
Assim, a série é dada por:
Passo 2
Beleza, mas qual é a extensão ímpar da função?
É a seguinte:
Já dá pra ter uma ideia que é uma função dente de serra né... ok, vamos as contas agora!
Passo 3
Para calcular os coeficientes da Série de Fourier, lembremos que a função é ímpar. Ou seja, só sobram os termos em seno.
Como e são ímpares, seu produto é par. Assim,
Passo 4
Para o segundo termo, vamos usar integração por partes:
Substituindo:
Passo 5
Então, nós obtemos que
Passo 6
Para mostrar que
vamos fazer o seguinte: vamos tomar (você vai ver que os senos serão fáceis de calcular assim!).
Pela série de Fourier, temos:
Mas, da expressão de , sabemos que . Assim, podemos afirmar
Passo 7
Perfeito, agora vamos olhar pro somatório: se for ímpar, o seno dá ; se for par, o seno dá . Então vamos escrever :
Se for ímpar, o seno dá ; se for par, o seno dá . Pronto, isso é .
E, finalmente:
Agora, se você troca por (o que dá na mesma), obtemos a relação desejada!
Resposta