Encontre a série de Fourier para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.
Série em cossenos, período .
Passo 1
Vamos começar fazendo o gráfico, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:
Até aqui nada demais, né? Como a questão pede uma série de cossenos, temos que fazer uma extensão par dessa função. Então, o próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo , dessa forma:
Bom, a função tem que ser periódica, né? Então vamos repetir esse padrão, para a esquerda e para a direita.
Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!
Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:
Nós colocamos então as bolinhas cheias em (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades).
Passo 2
Beleza, agora temos que representar a função em série de Fourier. Como temos uma série de cossenos:
Como o problema pede (e podemos ver no gráfico), o período da função é . Logo
Assim
Passo 3
Agora vamos calcular
Fazendo na expressão de e , temos:
Agora temos que dividir essa integral em duas, pois vale em e vale em , temos então
Logo
Passo 4
Agora vamos calcular os outros ’s. Temos que:
Dividindo essa integral em duas, como fizemos com :
Agora vamos analisar esse seno com calma.
Se é par, ou seja, se
Logo
Agora vamos analisar os ’s ímpares, fazendo , temos:
Logo, para ímpar, sendo
Então, podemos dizer que
Passo 5
Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:
O que nos dá
Vamos substituir agora o coeficiente . Repare que para , se anula, então só estamos interessados nos ’s ímpares, quando . Vamos então substituir isso na série.
Fazendo :
Para temos , portanto a série deve começar em .Temos então