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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Teste 2: Seja f x = 1 , para 0 ≤ x ≤ 1 2 e f x = - 1 , para 1 2 < x ≤ 1 . A série de cossenos de f é:

  1. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 2 n + 1 π cos ⁡ 2 n + 1 π x
  2. ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 4 n cos ⁡ n x
  3. ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 4 n π cos ⁡ n π x
  4. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 2 n + 1 cos ⁡ 2 n + 1 x

Passo 1

A Série de cossenos nada mais é do que a extensão par de uma função. E a gente pode encontrar a série de Fourier dessa extensão dessa forma aqui:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

Onde

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

Beleza, mas quem é a função f x ?

Passo 2

Para encontrarmos essa resposta, basta perceber através do enunciado que a função é definida por partes de modo que:

f x = 1 ,         p a r a   0 ≤ x ≤ 1 2   - 1 ,         p a r a 1 2 < x ≤ 1

Veja através do gráfico então que L é o comprimento de definição da função, igual a 1 nesse caso!

Passo 3

Sendo assim, pra encontrar a representação da função f em série temos que encontrar o a n :

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x       →

a n = 2 ∫ 0 1 f x cos ⁡ n π x d x

Pow, como a função f tem duas definições para x de 0 a 1 :

f x = 1 ,         p a r a   0 ≤ x ≤ 1 2   - 1 ,         p a r a 1 2 < x ≤ 1

precisamos desmembrar essa integral em duas:

a n = 2 ∫ 0 1 f x cos ⁡ n π x d x = 2 ∫ 0 1 2 1 ⋅ cos ⁡ n π x d x + ∫ 1 2 1 - 1 ⋅ cos ⁡ n π x d x     →

a n = 2 ∫ 0 1 2 cos ⁡ n π x d x - ∫ 1 2 1 cos ⁡ n π x d x    

Então venha comigo calcular essas integrais!

Passo 4

Vamos primeiro calcular a integral:

∫     cos ⁡ n π x d x

Como a integral do cosseno é o seno e não se esquecendo de dividir pela constante n π , teremos:

∫     cos ⁡ n π x d x = sin ⁡ n π x n π + C

Agora, substituindo no resultado do cálculo de a n :

a n = 2 ∫ 0 1 2 cos ⁡ n π x d x - ∫ 1 2 1 cos ⁡ n π x d x    

a n = 2 sin ⁡ n π x n π 0 1 2 - sin ⁡ n π x n π 1 2 1   →

Substituindo os limites de intgeração...

a n = 2 sin ⁡ n π 2 n π - sin ⁡ 0 n π - sin ⁡ n π n π - sin ⁡ n π 2 n π   →

E simplificando teremos:

a n = 2 sin ⁡ n π 2 n π - - sin ⁡ n π 2 n π   →

a n = 2 2 sin ⁡ n π 2 n π   →

a n = 4 sin ⁡ n π 2 n π

Beleza, mas você há de concordar comigo que esse seno pode ser simplificado ainda mais, não é verdade? Venha comigo!

Passo 5

Pow, para alguns valores de n , o valor desse seno é:

n = 1               →                   sin ⁡ π 2 = 1

n = 2               →                   sin ⁡ π = 0

n = 3               →                     sin ⁡ 3 π 2 = - 1

n = 4               →                   sin ⁡ 2 π = 0

Percebeu o que está acontecendo? Conforme n varia, o seno varia entre 1 , 0 e - 1 e o mais legal é que todos os n pares, o seno é 0 , logo podemos desmembrar esse seno em duas vertentes: uma par 2 n e outra ímpar 2 n + 1 :

sin ⁡ n π 2     →           sin ⁡ 2 n π 2   sin ⁡ 2 n + 1 π 2

Logo, o a n também pode ser separado nessas duas vertentes:

a n = 4 sin ⁡ n π 2 n π       →           a 2 n = 4 sin ⁡ 2 n π 2 2 n π   a 2 n + 1 = 4 sin ⁡ 2 n + 1 π 2 2 n + 1 π

Como o seno de todos os termos pares são 0 ...

a n = 4 sin ⁡ n π 2 n π       →           a 2 n = 4 ⋅ 0 2 n π   a 2 n + 1 = 4 sin ⁡ 2 n + 1 π 2 2 n + 1 π           →

a n = 4 sin ⁡ n π 2 n π       →           a 2 n = 0   a 2 n + 1 = 4 sin ⁡ 2 n + 1 π 2 2 n + 1 π

Ta legal, agora vamos ver quem é esse seno de termos impares aí!

Passo 6

Quanto a esse cara, sabemos que ele varia entre 1 e - 1 . Agora quem na matemática tem essa propriedade? - 1 n certo? Pois:

- 1 n = 1         s e   n   é   p a r - 1         s e   n   é   i m p a r

Então talvez...

sin ⁡ 2 n + 1 π 2 = - 1 n

Por que eu disse talvez? Porque agora temos que verificar se tá funcionando direitinho, prá isso, basta substituir valores de n :

n = 0           →           sin ⁡ 1 π 2 = - 1 0 = 1

De fato essa igualdade é verdadeira, então:

a n = 4 sin ⁡ n π 2 n π       →         a 2 n = 0   a 2 n + 1 = 4 sin ⁡ 2 n + 1 π 2 2 n + 1 π         →

a n = 4 sin ⁡ n π 2 n π       →           a 2 n = 0   a 2 n + 1 = 4 - 1 n 2 n + 1 π

Passo 7

Logo, pela igualdade de Fourier:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

a 0 é par, então é 0 , enquanto que o a n , como tem duas vertentes, vamos separar o somatório em duas parcelas também (uma par e outra ímpar):

f x = ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L = ∑ n = 1 ∞ a 2 n cos ⁡ 2 n π x L + ∑ n = 0 ∞ a 2 n + 1 cos ⁡ 2 n + 1 π x L

Observe que o segundo somatório está começando de 0 , apenas porque quando n = 0 , a 2 n + 1 é o a 1 que é o primeiro termo ímpar, ok? Mas substituindo...

f x = ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 1 = ∑ n = 1 ∞ 0 ⋅ cos ⁡ 2 n π x 1 + ∑ n = 0 ∞ 4 - 1 n 2 n + 1 π cos ⁡ 2 n + 1 π x 1   →

f x = ∑ n = 0 ∞ 4 - 1 n 2 n + 1 π cos ⁡ 2 n + 1 π x

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ 4 - 1 n 2 n + 1 π cos ⁡ 2 n + 1 π x

L e t r a   A

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