Seja a função definida por
- Determine a série de Fourier em cossenos de
- Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item (a) no intervalo [-6,6]
- Calcule o valor da série
Passo 1
a)
Ele pediu a série de Fourier em cossenos, então precisamos fazer a extensão par periódica da função.
Na extensão par, que chamaremos de , precisamos que:
Sendo que para valores positivos ,
Assim:
Logo, nossa extensão vai ser:
Assim a função tem período , ou seja, . Com isso, vamos lembrar das nossas fórmulas
Onde nesse caso.
Passo 2
Vamos calcular os coeficientes
Para
Calculando essa integral
Agora que obtemos os coeficientes temos que a série será
Passo 3
b)
Como temos uma extensão par da função, basta olharmos para definição
E traçarmos a restas de até . Assim teremos o gráfico abaixo:
Passo 4
c)
Como a extensão par de é continua em podemos dizer, pelo Teorema de Convergência de Fourier que
Disso obtemos que
Beleza, isso tudo é muito legal, mas não fizemos isso à toa. Vamos analisar os valores de
Agora está começando a aparecer o que estamos procurando. Percebemos que daquele nosso somatório nós só teremos valores diferentes de zero quando for impar. Substituindo e o termo por , ficamos com
Resposta
a)
b)
c)