Encontre a série de Fourier da (i.e da extensão par e periódica de período da função

Esboce o gráfico da .

Como estamos falando de uma função par, vamos ver como ficam as fórmulas para a série de Fourier. Primeiro, a forma geral da função:

O coeficiente é:

E os coeficientes são:

E no nosso caso, como o próprio enunciado já disse:

Então beleza, vamos aplicar essas fórmulas.

O primeiro passo é calcular a constante :

Substituindo :

E nesse intervalo, a função é definida simplesmente como , então:

Como a integral de :

E o próximo passo é encontrar a fórmula para os coeficientes :

Substituindo de novo e :

O jeito mais fácil de resolver essa integral, é olhando pra integral indefinida primeiro:

Onde esse é uma constante qualquer, que no nosso caso vai virar o . Vamos usar integração por partes. A fórmula é essa aqui:

E agora a gente tem que escolher quem chamar de e quem chamar de .

O nosso ali do lado direito é simplesmente a integral de em relação a .

Substituindo isso na fórmula:

E a integral de é , então:

Beleza, agora a gente tem uma fórmula pra resolver aquela integral.

Então tá, vamos aplicar essa fórmula. Queremos resolver essa integral aqui:

E a nossa fórmula diz que:

No nosso caso, . Vamos calcular nos dois limites de integração, começando por :

Mas e , então:

E como e :

Agora é só subtrair uma da outra:

Reorganizando um pouco:

Vamos dar uma olhada nesse termo aí entre parênteses:

Olha o que acontece quando é par/ímpar:

Ou seja, se a gente montar a nossa série desse jeito aqui:

Só substituindo , e :

Todos os termos com par vão se anular pelo que a gente viu ali em cima, então só sobram os termos ímpares,.

Então vamos fazer (com começando em ) e :

Simplificando um pouco:

Pronto! Essa é a série de Fourier da extensão par da função.