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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f : 0 , π → R a função definida por

f x = e x

  1. Determine a série de Fourier em senos de f .
  2. Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item (a) no intervalo - 3 π , 3 π .
  3. Calcule o valor da série

∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1 1 + 2 m + 1 2 .

Passo 1

OK, vamos começar com a letra (a). Temos uma função definida no intervalo 0 , π e o problema nos pediu a série de Fourier em senos de f . Assim, precisamos da extensão ímpar desta função, que vamos chamar de f - . Vamos ver a expressão dessa função com mais calma daqui a pouco.

Ok, então vamos calcular o coeficiente b n associado à série em senos de f - . Pela fórmula geral:

b n = 1 L ∫ - L L f - x sen ⁡ n π x L d x

Como a nossa função está definida em 0 , π , a extensão vai considerar o intervalo espalhado - π , 0 e será 2 π -periódica. A fórmula geral se refere às funções 2 L -periódicas, então vamos ter L = π no nosso caso:

b n = 1 π ∫ - π π f - x sen ⁡ n x d x

Como a função f - é ímpar e a função seno também é ímpar, o integrando será uma função par e teremos:

b n = 2 π ∫ 0 π f - x sen ⁡ n x d x

A extensão tem a mesma expressão de f no intervalo 0 , π , assim:

b n = 2 π ∫ 0 π f x sen ⁡ n x d x

b n = 2 π ∫ 0 π e x sen ⁡ n x d x

E vamos ter que usar integral por partes para resolver esse problema. Pela regra do LIATE, teremos:

u = sen ⁡ n x

Derivando: d u = n cos ⁡ n x d x

O d v é o que sobra no integrando:

d v = e x d x

v = e x

Boa, assim vamos ter:

∫ 0 π e x sen ⁡ n x d x = sen ⁡ n x e x 0 π - n ∫ 0 π e x cos ⁡ n x d x

∫ 0 π e x sen ⁡ n x d x = sen ⁡ n π e π - sen ⁡ 0 e 0 - n ∫ 0 π e x cos ⁡ n x d x

∫ 0 π e x sen ⁡ n x d x = - n ∫ 0 π e x cos ⁡ n x d x

Parece que não mudou muita coisa, mas vamos aplicar novamente a integral por partes na outra integral: ∫ 0 π e x cos ⁡ n x d x

u = cos ⁡ n x v = e x d u = - n sen ⁡ n x d x d v = e x d x

∫ 0 π e x cos ⁡ n x d x = cos ⁡ n x e x 0 π + n ∫ 0 π e x sen ⁡ n x d x

Abrindo:

∫ 0 π e x cos ⁡ n x d x = cos ⁡ n π e π - cos ⁡ 0 e 0 + n ∫ 0 π e x sen ⁡ n x d x

∫ 0 π e x cos ⁡ n x d x = - 1 n e π - 1   + n ∫ 0 π e x sen ⁡ n x d x

Apareceu novamente a integral do início. Então vamos chamar

I ≔ ∫ 0 π e x sen ⁡ n x d x

E ir substituindo:

∫ 0 π e x cos ⁡ n x d x = - 1 n e π - 1   + I n

I = - n - 1 n e π - 1   + I n

E vamos isolar I :

I = n - 1 n + 1 e π + n - I n 2

I 1 + n 2 = n - 1 n + 1 e π + n

I = n - 1 n + 1 e π + 1 1 + n 2

Assim, vamos ficar com: b n = 2 π ∫ 0 π e x sen ⁡ n x d x  

b n = 2 π ⋅ n - 1 n + 1 e π + 1 1 + n 2

Ou para ficar do jeitinho que a questão pediu: b m = 2 π ⋅ m - 1 m + 1 e π + 1 1 + m 2

Legal, então a série associada é:

f x = ∑ m = 1 ∞ b m sen ⁡ n x

f x = ∑ m = 1 ∞ 2 π ⋅ m - 1 m + 1 e π + 1 1 + m 2 sen ⁡ m x

Passo 2

Agora vamos para letra (b). Agora que precisamos esboçar o gráfico da série de Fourier, vamos olhar melhor para a nossa extensão ímpar f - que usamos. Em 0 , π o gráfico será o mesmo de f x dado

Show, então definimos a função para o intervalo espalhado - π , 0 . Para que seja ímpar, a expressão neste intervalo tem que ser: f - x = - f - x = - e - x

Portanto, vamos ter:

f - x = e x ,     0 < x < π - e - x ,     - π < x < 0

Adicionamos ao esboço também:

Como definimos para o intervalo - π , π , a extensão será 2 π -periódica: f - x + 2 π = f - x

Assim, repetimos para completar o intervalo - 3 π , 3 π :

Para fechar, completamos os pontos que faltam. A série de Fourier vai ter o gráfico igual ao da extensão para todos os pontos em que a extensão é contínua. Então tudo certo até agora. Já nos pontos de descontinuidade, que estão justamente nas fronteiras das expressões, a série de Fourier converge para o valor médio das expressões. Assim, temos:

f - 0 = f 0 - + f 0 + 2 = - e 0 + e 0 2 = 0

f π = f π - + f π + 2 = e π - e π 2 = 0

f - π = f - π - + f - π + 2 = e π - e π 2 = 0

Assim, marcamos esses pontos (também já considerando que é periódica para repetir):

Passo 3

Show, agora vamos para letra (c). Precisamos calcular o valor da série:

∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1 1 + 2 m + 1 2

A ideia aqui é relacionar a série que encontramos na letra (a) com esta ali para encontramos o valor a partir da função dada. Legal, temos isso aqui:

f x = ∑ m = 1 ∞ 2 π ⋅ m - 1 m + 1 e π + 1 1 + m 2 sen ⁡ m x

Para tirar esse seno, podemos pegar π / 2 . Assim, teremos: f π 2 = ∑ m = 1 ∞ 2 π ⋅ m - 1 m + 1 e π + 1 1 + m 2 sen ⁡ m π 2

Vamos olhar para o nosso amiguinho seno: sen ⁡ m π 2

Sempre que m for um número par, será divisível por 2 , então teremos que:

sen ⁡ m π 2 = 0 ,   m   p a r

Assim, só sobrarão os termos ímpares. Para escrevermos mudamos o índice para m = 2 n - 1 . E teremos:

f π 2 = ∑ n = 1 ∞ 2 π ⋅ 2 n - 1 e π + 1 1 + 2 n - 1 2 sen ⁡ 2 n - 1 π 2

Novamente voltamos para ele:

sen ⁡ 2 n - 1 π 2

Separando, temos: sen ⁡ 2 n - 1 π 2 = sen ⁡ n π - π 2 = sen ⁡ n π cos ⁡ π 2 - sen ⁡ π 2 cos ⁡ n π

= - cos ⁡ n π = - 1 n + 1  

E assim: f π 2 = ∑ n = 1 ∞ 2 π ⋅ - 1 n + 1 2 n - 1 e π + 1 1 + 2 n - 1 2  

Pela expressão, temos: f π 2 = e π 2

Assim, vamos ter:

2 π ⋅ e π + 1 ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 1 + 2 n - 1 2 = e π 2

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 1 + 2 n - 1 2 = π e π 2 2 e π + 1

E é isso. 😊

Resposta

(a) f x = ∑ m = 1 ∞ 2 π ⋅ m - 1 m + 1 e π + 1 1 + m 2 sen ⁡ m x

(b)

(c) ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 1 + 2 n - 1 2 = π e π 2 2 e π + 1

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