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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Questão 1: Seja f : 0 ,   2 → R a função

f x = s i n   π x 4  

  1. Determine a série de Fourier em cossenos de f .

Passo 1

Pois bem, de acordo com a teoria, a série de Fourier em Cossenos tem essa cara aqui:

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m   c o s   m π x L  

Porém o cosseno é uma função par, ou seja, precisamos criar a extensão par da função f de período 2 L para então encontrarmos esses a 0 e a m concluindo o nosso problema, entende?

Passo 2

Uma extensão periódica par f ~ dessa função f :

f x = s i n   π x 4         d e f i n i d o   d e   f : 0 ,   2 → R

Tem a seguinte definição:

f ~ x = { - s i n   π x 4   ,     p a r a   x ∈ - 2 ,   0 s i n   π x 4   ,     p a r a   x ∈ 0 ,   2  

E

f ~ x + 4 = f ~ x

Está ligado? Agora a gente pode encontrar a série dessa extensão, pois eu te garanto que nos dará uma soma apenas de cossenos! ☺

Passo 3

De acordo com as fórmulas de Fourier, podemos encontrar os coeficientes dessa forma aqui:

a 0 = 1 2 ∫ - 2 2 f ~ x d x

a m = 1 2 ∫ - 2 2 f ~ x c o s   m π x 2   d x

Só que olha que maneiro, se você não entendeu o passo anterior, nem precisa, pois a metade da integral de uma extensão par nada mais é do que...

a 0 = ∫ 0 2 f x d x = ∫ 0 2 s i n   π x 4   d x

a m = ∫ 0 2 f x c o s   m π x 2   d x = ∫ 0 2 s i n   π x 4   c o s   m π x 2   d x

Saca? Então vamos calcular essas integrais aí! ☺

Passo 4

Vamos começar com a 0 :

a 0 = ∫ 0 2 s i n   π x 4   d x = - c o s   π x 4   π 4 0 2 =

Substituindo os limites...

- c o s   π ⋅ 2 4   π 4 - - c o s   0   π 4 =

- - 1 π 4 = 4 π

Passo 5

Agora vamos para o a m :

∫ 0 2 s i n   π x 4   c o s   m π x 2   d x

Lembrando-se de que:

s i n   A   c o s   B   = 1 2 s i n   A + B   + s i n   A - B       →           P o r   c o m p a r a ç ã o     →

s i n   π x 4   c o s   m π x 2   = 1 2 s i n   π x 4 + m π x 2   + s i n   π x 4 - m π x 2  

Assim:

∫ 0 2 s i n   π x 4   c o s   m π x 2   d x = 1 2 ∫ 0 2 s i n   π x 4 + m π x 2   + s i n   π x 4 - m π x 2   d x =

1 2 ∫ 0 2 s i n   π 4 + m π 2 x   d x + ∫ 0 2 s i n   π 4 - m π 2 x   d x =

Integrando o seno...

1 2 - c o s   π 4 + m π 2 x   π 4 + m π 2 - c o s   π 4 - m π 2 x   π 4 - m π 2 0 2 =

1 2 - c o s   π 4 + m π 2 2   π 4 + 2 m π 4 - c o s   π 4 - m π 2 2   π 4 - 2 m π 4 - - c o s   0   π 4 + 2 m π 4 - c o s   0   π 4 - 2 m π 4

Simplificando...

1 2 - c o s   π 2 + m π   π + 2 m π 4 - c o s   π 2 - m π   π - 2 m π 4 - - 1 π + 2 m π 4 - 1 π - 2 m π 4 =

1 2 - 4   c o s   π 2 + m π   π + 2 m π - 4   c o s   π 2 - m π   π - 2 m π - - 4 π + 2 m π - 4 π - 2 m π

Vamos analisar quem é esses cossenos ali!

Passo 6

Primeiro o

c o s   π 2 + m π   = c o s   π 2 c o s   m π     - s i n   π 2   s i n   m π     →

Como os seno dos múltiplos de π é 0 ...

c o s   π 2 + m π   = 0 ⋅ c o s   m π   - 1 ⋅ 0   →

c o s   π 2 + m π   = 0

Fazendo a mesma análise para...

c o s   π 2 - m π   = c o s   π 2 c o s   m π     + s i n   π 2   s i n   m π   =

0

Então, a gente conclui que:

∫ 0 2 s i n   π x 4   c o s   m π x 2   d x = 1 2 - 4   c o s   π 2 + m π   π + 2 m π - 4   c o s   π 2 - m π   π - 2 m π - - 4 π + 2 m π - 4 π - 2 m π     →

∫ 0 2 s i n   π x 4   c o s   m π x 2   d x = 1 2 4 π + 2 m π + 4 π - 2 m π     →

Colocando sob o mesmo denominador para simplificar...

∫ 0 2 s i n   π x 4   c o s   m π x 2   d x = 1 2 4 π - 2 m π π + 2 m π π - 2 m π + 4 π + 2 m π π + 2 m π π - 2 m π     →

∫ 0 2 s i n   π x 4   c o s   m π x 2   d x = 1 2 4 π - 2 m π + 4 π + 2 m π π + 2 m π π - 2 m π     →

∫ 0 2 s i n   π x 4   c o s   m π x 2   d x = 1 2 4 π - 8 m π + 4 π + 8 m π π 2 - 4 m 2 π 2     →

∫ 0 2 s i n   π x 4   c o s   m π x 2   d x = 1 2 8 π π π - 4 m 2 π     →

∫ 0 2 s i n   π x 4   c o s   m π x 2   d x = 4 π - 4 m 2 π

Passo 7

Concluímos então que a série de Fourier de extensão par é:

f x = a 0 L + ∑ m = 1 ∞ a m c o s   m π x L     →

f x = 2 π + ∑ m = 1 ∞ 4 π - 4 m 2 π c o s   m π x 2  

Resposta

f x = 2 π + ∑ m = 1 ∞ 4 π - 4 m 2 π c o s   m π x 2  

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