Séries de Fourier- funções pares e ímpares
Seja a função par e periódica de período , tal que para
a)Encontre a série de Fourier de f(x)
b)Usando (a) determine a soma da série numérica
Passo 1
a)
Ele já disse que a função é par, então desenhar ela é meio que perda de tempo se ele não pediu. A gente desenha para ver se a função tem algum padrão que torne ela par ou ímpar, como já sabemos, vamos simbora resolver então.
Começamos sempre determinando os coeficientes, como a função é par:
Mas sabemos que , substituindo:
Passo 2
Então vamos calcular esses coeficientes
Vamos pro próximo:
Esse cara é mais complicado, vamos ter que fazer uma integração por partes
Passo 3
Então a série de Fourier que é
Substituindo os valores, fica
Vamos só fazer uma análise:
Daí a gente tira que:
Assim fica:
Mas para a gente ve que o coeficiente do somatório da , logo a gente pode evidenciar isso:
Então escrevendo somente os ímpares no somatório:
Tchã! Finish.
Passo 4
b)Usando (a) determine a soma da série numérica
Ele já deu a dica que devemos usar a letra (a). Da uma olhada no que obtemos:
Ok ok, reclama que é bemmmm próximo do que ele tá pedindo, daí a gente mataria rápido se a gente soubesse o valor desse somatório. Mas como eliminar esse cosseno? Perceba que o argumento do cosseno é sempre um número ímpar vezes , hmmm, se esse for igual a então será sempre ! Então esse cosseno some! Mas opa, , então
Substituindo isso:
Agora é só desenvolver a conta:
Fechou!
Resposta
a)
b)