UFRJ - Sem Campus - Cálculo 4 - Provas Antigas - PF - 2022.1 - Questão 3
Seja a função definida por
- Dê a expressão para a extensão par e periódica de período da função
- Determine a série de Fourier da função encontrada no item (a).
- Encontre a soma da série .
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
O enunciado nos dá uma função definida no intervalo , esta função apresenta uma descontinuidade em . Definida da seguinte maneira
O objetivo é fazermos a extensão par periódica de período desta função e em seguida calcular a série de Fourier da extensão obtida! Por último devemos calcular a soma da série
Ta, mas como podemos encontrar essa tal de “extensão par periódica”?
A extensão par que devemos obter se trata do aumento do domínio da função original, estendendo o intervalo de , mas de maneira que tenhamos uma paridade bem definida. Então, a função deve cumprir com a propriedade de ser par:
Para o item b, a série de Fourier pode ser obtida aplicando a seguinte definição
em que os coeficientes são obtidos da seguinte maneira
e também temos que
E, por último, temos que
Todas estas expressões definidas para uma função periódica de período . Com isso em mãos deve ser possível resolver a maior parte da questão! Bora lá!
Passo 2
Para fazer uma extensão par precisamos lembrar que uma função par é definida pela seguinte relação
Como temos que nossa função é constante, só precisamos que para o intervalo simétrico negativo, ou seja
Claramente, para que esta seja uma extensão par, precisamos que esta função seja definida como
A primeira alternativa foi isso! Vamos para a próxima! Agora precisamos calcular a série de Fourier de .
Passo 3
Temos que é uma função par periódica com período . As integrais para os coeficientes são definidas em intervalos simétricos, e isso irá possibilitar que façamos algumas simplificações, segue aqui comigo! Temos que
Devido a paridade da função, podemos reescrever esta integral como
dentro do intervalo considerado nesta integração, temos que de à , a função se anula, portanto, apenas precisamos calcular a seguinte integral
Que pode ser identificada diretamente como
Este foi o primeiro coeficiente! Vamos calcular os outros! Uma dica, utilizar as relações de paridade irá ajudar bastante! Tente calcular os outros componentes e depois volta aqui para checar! Vamo que vamo!
Passo 4
Para temos a seguinte definição
A nossa função é par, e a função cosseno também é par, o produto de duas funções pares também é par! Portanto, assim como fizemos anteriormente, podemos reescrever a integral da seguinte maneira
Mas novamente, no intervalo de à a função se anula, e portanto, temos que os nossos coeficientes se resumem à
Esta integral pode ser identificada através de integrais conhecidas como
Avaliando os limites de integração, temos que
Lembrando que , nós temos que
Faltam apenas os coeficientes agora, vamos lá!
Passo 5
Por último vamos utilizar que
A nossa função é par, e a função seno é ímpar, o produto de ambas as funções resulta em uma função ímpar. Realizar a integração de uma função ímpar em um intervalo simétrico nos dá um resultado nulo! Portanto, temos que
A nossa série de Fourier é então definida como
Temos que para para, , e para ímpar, surge uma alternância entre valores ou . Ou seja, podemos escrever que
O no denominador surge para considerar o fato de que apenas ímpares estarão no denominador e nos dá a alternância de sinal que surgiria da função seno! E esta é a nossa série de Fourier! Só falta uma última alternativa agora! Bora lá!
Passo 6
Note que a série que ele pede para que calculemos a soma está relacionada a nossa série de Fourier apenas por uma mudança no índice, note que fazendo , temos que
Como é apenas o nome do índice, mudá-lo é indiferente para o resultado, podemos então escrever isso como
Como esta é uma série alternada e convergente, podemos expandir os termos para obter uma aproximação em qualquer quantidade de casas decimais que desejarmos. Por exemplo, com uma casas decimal podemos expandir a soma como
Estas aproximações só são válidas para séries alternadas convergentes, o que é o nosso caso! A questão foi isso pessoal! Te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
Ao longo dos passos!