Seja f : [ 0,2 π ] → ℝ a função definida por

f ( x ) = 0 ,   0 ≤ x < π ,           e               f ( x ) = 2 ,   π ≤ x < 2 π

  1. Dê a expressão para a extensão par e periódica de período 4 π da função f ( x )
  2. Determine a série de Fourier da função encontrada no item (a).
  3. Encontre a soma da série ∑ n ≥ 0 ( - 1 ) n 2 n + 1 .

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado nos dá uma função definida no intervalo [ 0,2 π ] , esta função apresenta uma descontinuidade em x = π . Definida da seguinte maneira

f ( x ) = 0 ,   0 ≤ x < π ,           e               f ( x ) = 2 ,   π ≤ x < 2 π

O objetivo é fazermos a extensão par periódica de período 4 π desta função e em seguida calcular a série de Fourier da extensão obtida! Por último devemos calcular a soma da série

∑ n ≥ 0 ( - 1 ) n 2 n + 1

Ta, mas como podemos encontrar essa tal de “extensão par periódica”?

A extensão par que devemos obter se trata do aumento do domínio da função original, estendendo o intervalo de x , mas de maneira que tenhamos uma paridade bem definida. Então, a função deve cumprir com a propriedade de ser par:

f ( x ) = f ( - x )

Para o item b, a série de Fourier pode ser obtida aplicando a seguinte definição

f ( x ) = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n π x L ) + B n s e n ( n π x L )

em que os coeficientes são obtidos da seguinte maneira

A n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

e também temos que

B n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

E, por último, temos que

A 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

Todas estas expressões definidas para uma função periódica de período 2 L . Com isso em mãos deve ser possível resolver a maior parte da questão! Bora lá!

Passo 2

Para fazer uma extensão par precisamos lembrar que uma função par é definida pela seguinte relação

f ( x ) = f ( - x )

Como temos que nossa função é constante, só precisamos que para o intervalo simétrico negativo, ou seja

f ( - x ) =   ? ,   - π < x ≤ 0       e               f ( - x ) = ? ,   - 2 π < x ≤ π

Claramente, para que esta seja uma extensão par, precisamos que esta função seja definida como

f ( x ) ~ = 2 , - 2 π < x ≤ π             e             f ~ ( x ) = 0 ,   - π < x ≤ 0          

e         f ~   ( x ) = 0 ,     0 ≤ x < π             e                 f ~   ( x ) = 2 ,     π ≤ x < 2 π .

A primeira alternativa foi isso! Vamos para a próxima! Agora precisamos calcular a série de Fourier de f ~ ( x ) .

Passo 3

Temos que f ~ ( x ) é uma função par periódica com período 2 L = 4 π . As integrais para os coeficientes são definidas em intervalos simétricos, e isso irá possibilitar que façamos algumas simplificações, segue aqui comigo! Temos que

A 0 = 1 L ∫ - L L f ~ ( x ) d x = 1 2 π ∫ - 2 π 2 π f ~ ( x ) d x

Devido a paridade da função, podemos reescrever esta integral como

A 0 = 2 2 π ∫ 0 2 π f ~ ( x ) d x = 1 π ∫ 0 2 π f ~ ( x ) d x

dentro do intervalo considerado nesta integração, temos que de 0 à π , a função se anula, portanto, apenas precisamos calcular a seguinte integral

A 0 = 1 π ∫ π 2 π 2 d x = 2 π ∫ π 2 π d x

Que pode ser identificada diretamente como

A 0 = 2 π [ 2 π - π ] = 2

Este foi o primeiro coeficiente! Vamos calcular os outros! Uma dica, utilizar as relações de paridade irá ajudar bastante! Tente calcular os outros componentes e depois volta aqui para checar! Vamo que vamo!

Passo 4

Para A n temos a seguinte definição

A n = 1 L ∫ - L L f ~ ( x ) c o s ( n π x L ) d x = 1 2 π ∫ - 2 π 2 π f ~ ( x ) c o s ( n π x 2 π ) d x

A nossa função é par, e a função cosseno também é par, o produto de duas funções pares também é par! Portanto, assim como fizemos anteriormente, podemos reescrever a integral da seguinte maneira

A n = 2 2 π ∫ 0 2 π f ~ ( x ) c o s ( n x 2 ) d x

Mas novamente, no intervalo de 0 à π a função se anula, e portanto, temos que os nossos coeficientes se resumem à

A n = 1 π ∫ π 2 π 2 c o s ( n x 2 ) d x = 2 π ∫ π 2 π c o s ( n x 2 ) d x

Esta integral pode ser identificada através de integrais conhecidas como

A n = 2 π ∫ π 2 π c o s ( n x 2 ) d x = 2 π 2 n ( s e n ( n x 2 ) ) | π 2 π  

Avaliando os limites de integração, temos que

A n = 4 n π ( s e n ( n π ) - s e n ( n π 2 ) )  

Lembrando que s e n ( n π ) = 0 , nós temos que

A n = - 4 n π s e n ( n π 2 )

Faltam apenas os coeficientes B n agora, vamos lá!

Passo 5

Por último vamos utilizar que

B n = 1 L ∫ - L L f ~ ( x ) s e n ( n π x L ) d x = 1 2 π ∫ - 2 π 2 π f ~ ( x ) s e n ( n x 2 ) d x

A nossa função é par, e a função seno é ímpar, o produto de ambas as funções resulta em uma função ímpar. Realizar a integração de uma função ímpar em um intervalo simétrico nos dá um resultado nulo! Portanto, temos que

B n = 1 2 π ∫ - 2 π 2 π f ~ ( x ) s e n ( n x 2 ) d x = 0

A nossa série de Fourier é então definida como

f ~ ( x ) = 2 2 - 4 π ∑ n = 1 ∞ 1 n s e n ( n π 2 ) + 0 = 1 - 4 π ∑ n = 1 ∞ 1 n s e n ( n π 2 )

Temos que para n para, s e n ( n π 2 ) = 0 , e para n ímpar, surge uma alternância entre valores + 1 ou - 1 . Ou seja, podemos escrever que

f ~ ( x ) = 1 - 4 π ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 2 n - 1

O 2 n - 1 no denominador surge para considerar o fato de que apenas n ímpares estarão no denominador e ( - 1 ) n - 1 nos dá a alternância de sinal que surgiria da função seno! E esta é a nossa série de Fourier! Só falta uma última alternativa agora! Bora lá!

Passo 6

Note que a série que ele pede para que calculemos a soma está relacionada a nossa série de Fourier apenas por uma mudança no índice, note que fazendo m = n - 1 , temos que

f ~ ( x ) = 1 - 4 π ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m 2 m + 1

Como m é apenas o nome do índice, mudá-lo é indiferente para o resultado, podemos então escrever isso como

f ~ ( x ) = 1 - 4 π ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1

Como esta é uma série alternada e convergente, podemos expandir os termos para obter uma aproximação em qualquer quantidade de casas decimais que desejarmos. Por exemplo, com uma casas decimal podemos expandir a soma como

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + 1 9 + . . .   ≈ 0,8

Estas aproximações só são válidas para séries alternadas convergentes, o que é o nosso caso! A questão foi isso pessoal! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

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