Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

Ver Teoria
Exercício 14123456789101112131516171819202122232425262728293031323334353637383940414243

Enunciado

Passo 1

Para testar se é uma EDO homogênea mesmo, temos que pegar o x e o y da nossa EDO e substituir por λ x e λ y respectivamente. Se a EDO não mudar, ela é homogênea. Então nesse caso

x 2 + y 2 d x - 2 x y d y = 0

x 2 + y 2 - 2 x y d y d x = 0  

d y d x = x 2 + y 2 2 x y

Fazendo a substituição

d λ y d ( λ x ) = λ 2 x 2 + λ 2 y 2 2 λ 2 x y  

λ d y λ d x = λ 2 ( x 2 + y 2 ) λ 2 2 x y

d y d x = x 2 + y 2 2 x y

A EDO permanece a mesma, logo ela é homogêna.

Passo 2

Agora, para resolver vamos utilizar a substituição

z = y x → y = z x

E vamos precisar de

d y d x = d z d x x + z d x d x = x d z d x + z

Fazendo a substituição

d y d x = x 2 + y 2 2 x y

d y d x = x 2 y + y 2 x

x d z d x + z = 1 2 z + z 2

Manipulando um pouco nossa expressão

x d z d x = 1 2 1 z - z

x d z d x = 1 2 1 - z 2 z

Repare que a EDO se tornou separável

2 z 1 - z 2 d z = d x x

E para resolver basta integrar dos dois lados da equação

∫ 2 z 1 - z 2 d z = ∫ d x x

Passo 3

Para resolver a integral

∫ 2 z 1 - z 2 d z

Fazemos a substituição

u = 1 - z 2

d u = - 2 z   d z

Aplicando ficamos com

∫ 2 z 1 - z 2 d z = - ∫ d u u = - ln ⁡ u

Desfazendo a substituição

∫ 2 z 1 - z 2 d z = - ln ⁡ ( 1 - z 2 )

Já do outro lado a expressão

= ∫ d x x = ln ⁡ x + C '

Note que teremos constantes de integração dos dois lados da equação, mas para facilitar a vida, é melhor juntar em apenas uma constante C ' .

Passo 4

Resolvidas as integrais, vamos juntar tudo na mesma expressão

∫ 2 z 1 - z 2 d z = ∫ d x x

- ln ⁡ ( 1 - z 2 ) = ln ⁡ x + C '

ln ⁡ 1 - z 2 - 1 = ln ⁡ x + C '

1 - z 2 - 1 = x . e C '

1 - z 2 = 1 x e C '

Manipulando mais um pouco chegaremos em

z 2 = 1 - 1 x e C '

Agora podemos desfazer aquela substituição lá do inicio

z = y x

y 2 x 2 = 1 - 1 x e C '

E ficamos com

y 2 = x 2 - x e C '

Podemos substituir - 1 e C ' = C já que é constante e ficamos com

y 2 = x 2 + C x

Fim!

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = y x + x 2 y 2 + 1
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 2 + x y - y 2 d x + x yd y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. xd x + ( y - 2 x )d y = 0
Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. y 2 + 3 x y d x = 4 x 2 + x y d y ; y 1 = 1
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x d y d x - y = x 2 + y 2