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Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Nos exercícios 19 a 21 use o método desenvolvido na questão 18, para determinar a solução geral das equações.

Passo 1

Vamos precisar utilizar o método dado. Para isso precisamos identificar a , b , c , A , B , C .

No nosso caso temos

a = 1 , b = 1 , c = 4

A = 1 , B = - 1 ,   C = - 6

Se fizemos

a B - A b

Temos

1 . - 1 - 1.1 = - 2 ≠ 0

Passo 2

Então sabemos que caímos no primeiro caso. Vamos utilizar as substituições

z = x - h

w = y - k

Onde h   e   k são soluções do sistema

x + y + 4 = 0 x - y - 6 = 0

Resolvendo o sistema encontramos,

x = 1

y = - 5

Logo,

z = x - 1

w = y + 5

E podemos concluir que

d z = d x

d w = d y

Passo 3

Agora precisamos fazer as substituições na nossa EDO

d y d x = x + y + 4 x - y - 6

Substituindo

d w d z = z + 1 + w - 5 + 4 z + 1 - w - 5 - 6

d w d z = z + w z - w

Essa é uma EDO homogênea. Podemos comprovar substituindo z   e   w por λ z   e   λ y .

d λ w d λ z = λ z + λ w λ z - λ w

λ d w λ d z = λ z + w λ z - w

A EDO permaneceu a mesma, então ela é de fato homogênea.

Passo 4

Para resolver uma EDO homogênea, precisamos utilizar uma substituição

r = w z

w = r z

Logo

d w d z = r + z d r d z

Aplicando na nossa equação

d w d z = z + w z - w

r + z d r d z = z + r z z - r z

Melhorando nossa expressão

r + z d r d z = z ( 1 + r ) z ( 1 - r )

z d r d z = 1 + r 1 - r - r

z d r d z = 1 + r - r ( 1 - r ) 1 - r

z d r d z = 1 + r 2 1 - r

Agora, temos uma EDO separável.

Passo 5

Resolvendo nossa EDO separável

z d r d z = 1 + r 2 1 - r

d z z = 1 - r 1 + r 2 d r

Integrando de ambos os lados

∫ d z z = ∫ 1 - r 1 + r 2 d r

∫ d z z = ∫ 1 1 + r 2 d r - ∫ r 1 + r 2

ln ⁡ z = arctan ⁡ r - 1 2 ln ⁡ 1 + r 2 + C

Passo 6

Por fim, precisamos desfazer as substituições

r = w z

ln ⁡ z = arctan ⁡ r - 1 2 ln ⁡ ( 1 + r 2 ) + C

Logo,

ln ⁡ z = arctan ⁡ w z - 1 2 ln ⁡ 1 + w 2 / z 2 + C

Agora precisamos substituir w   e   z

z = x - 1

w = y + 5

ln ⁡ ( x - 1 ) = arctan ⁡ y + 5 x - 1 - 1 2 ln ⁡ 1 + y + 5 2 x - 1 2 + C

Rearranjando

ln ⁡ ( x - 1 ) = arctan ⁡ y + 5 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x - 1 2 + y + 5 2 x - 1 2 + C

ln ⁡ ( x - 1 ) = arctan ⁡ y + 5 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x - 1 2 + y + 5 2 + 1 2 ln ⁡ ( x - 1 ) + C

2 2 ln ⁡ ( x - 1 ) = arctan ⁡ y + 5 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x - 1 2 + y + 5 2 + 1 2 ln ⁡ ( x - 1 ) + C

1 2 ln ⁡ x - 1 2 = arctan ⁡ y + 5 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x - 1 2 + y + 5 2 + 1 2 ln ⁡ ( x - 1 ) + C

Ficamos com

arctan ⁡ y + 5 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x - 1 2 + y + 5 2 + C = 0

arctan ⁡ y + 5 x - 1 = 1 2 ln ⁡ C x - 1 2 + y + 5 2

Resposta

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