UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P2 - 2022.2, Questão 4
Uma massa de 9kg desloca de 0,1m para baixo uma mola. Deslocamos a massa de 1 m para baixo e soltamos. Encontre a função que descreve a posição da massa em função do tempo. Use que a aceleração da gravidade é
Passo 1
Para encontrar a função s(t) que descreve a posição da massa em função do tempo, você pode usar a equação do movimento harmônico simples (MHS) para uma massa em uma mola.
A equação do MHS é dada por:
onde:
- F é a força resultante (a força da mola e a força gravitacional neste caso),
- k é a constante da mola,
- x é a distância da posição de equilíbrio.
Primeiro, você precisa calcular a constante da mola k. Para isso, você pode usar a informação de que a massa se desloca 0,1 m para baixo quando é pendurada na mola.
A força da mola é diretamente proporcional à deformação, então:
Onde F é o peso da massa, que é dado por , e g é a aceleração devido à gravidade e x é a deformação
Passo 2
Agora que você tem o valor de k, pode escrever a equação do MHS:
Onde m é a massa (9 kg) e a é a aceleração.
A aceleração da massa é a derivada segunda da posição em relação ao tempo, ou seja, Portanto, temos:
Isolando:
Passo 3
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:
Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de A e B.
Você mencionou que a massa foi deslocada 1 m para baixo e solta, o que significa que a posição inicial (quando ) é , e a velocidade inicial (quando ) é , porque a massa é solta do repouso.
Portanto, as condições iniciais são:
Agora, vamos calcular a derivada da função s(t) em relação ao tempo para encontrar s'(t):
Passo 4
Usando a condição
Portanto, B = 0.
Agora, usando a condição
Portanto, .
A função s(t) final é, portanto:
Esta é a função que descreve a posição da massa em função do tempo após ser deslocada 1 m para baixo e solta.