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Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Nos exercícios 19 a 21 use o método desenvolvido na questão 18, para determinar a solução geral das equações.

Passo 1

Vamos precisar utilizar o método dado. Para isso precisamos identificar a , b , c , A , B , C .

No nosso caso temos

a = 0 , b = 1 , c = 0

A = 1 , B = - 1 ,   C = - 1

Se fizemos

a B - A b

Temos

0 . - 1 - 1.1 = - 1 ≠ 0

Passo 2

Então sabemos que caímos no primeiro caso. Vamos utilizar as substituições

z = x - h

w = y - k

Onde h   e   k são soluções do sistema

y = 0 x - y - 1 = 0

Resolvendo o sistema encontramos,

y = 0

x = 1

Logo,

z = x - 1

w = y

E podemos concluir que

d z = d x

d w = d y

Passo 3

Agora precisamos fazer as substituições na nossa EDO

d y d x = y x - y - 1

Substituindo

d w d z = w z + 1 - w - 1

d w d z = w z - w

Essa é uma EDO homogênea. Podemos comprovar substituindo z   e   w por λ z   e   λ y .

d λ w d λ z = λ w λ z - λ w

λ d w λ d z = λ w λ z - w

A EDO permaneceu a mesma, então ela é mesmo homogênea.

Passo 4

Para resolver uma EDO homogênea, precisamos utilizar uma substituição

r = w z

w = r z

Logo

d w d z = r + z d r d z

Aplicando na nossa equação

d w d z = w z - w

r + z d r d z = r z z - r z

Melhorando nossa expressão

r + z d r d z = z r z ( 1 - r )

z d r d z = r 1 - r - r

z d r d z = r - r ( 1 - r ) 1 - r

z d r d z = r 2 1 - r

Agora, temos uma EDO separável.

Passo 5

Resolvendo nossa EDO separável

z d r d z = r 2 1 - r

d z z = 1 - r r 2 d r

Integrando de ambos os lados

∫ d z z = ∫ 1 r 2 d r - ∫ 1 r d r

ln ⁡ z = - 1 r - ln ⁡ r + C

Passo 6

Por fim, precisamos desfazer as substituições

r = w z

ln ⁡ z = - 1 r - ln ⁡ r + C

Logo,

ln ⁡ z = - z w - ln ⁡ w z + C

Agora precisamos substituir w   e   z

z = x - 1

w = y

ln ⁡ ( x - 1 ) = - x - 1 y - ln ⁡ y x - 1 + C

Rearranjando

ln ⁡ ( x - 1 ) = - x - 1 y - ln ⁡ y + ln ⁡ ( x - 1 ) + C

Ficamos com

ln ⁡ y + C = - x - 1 y

y ln ⁡ C y = 1 - x

Resposta

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