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Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Equações Separáveis e homogêneas

Determine a solução da equação

x y + 4 y 2 d x + x 2 - 4 x y d y = 0

Que satisfaz a condição inicial

y 1 = 2

Passo 1

Repara que essa nossa equação tem funções polinomiais, então é interessante olharmos se essa função é homogênea.

Para isso primeiro temos que achar f x , y que vai ser encontrada isolando d y d x

x y + 4 y 2 d x + x 2 - 4 x y d y = 0

x y + 4 y 2 + x 2 - 4 x y d y d x = 0

d y d x = - x y - 4 y 2 x 2 - 4 x y

Assim temos

f x , y = - x y - 4 y 2 x 2 - 4 x y

Agora fazemos f λ x , λ y para ver se é igual a f x , y ,

f λ x , λ y = - λ x λ y - 4 λ y 2 λ x 2 - 4 λ x λ y = - λ 2 x y - 4 λ 2 y 2 λ 2 x 2 - 4 λ 2 x y = - x y - 4 y 2 x 2 - 4 x y

Logo vamos ter

f λ x , λ y = f x , y

E essa equação vai ser homogênea

Passo 2

Para resolver uma equação homogênea nos fazer

y = z x

Logo

d y d x = d z d x x + z

Substituindo isso na equação vamos ter

d z d x x + z = - x z x - 4 z x 2 x 2 - 4 x z x

Arrumando essa equação

d z d x x + z = - z x 2 - 4 z 2 x 2 x 2 - 4 x 2 z

d z d x x + z = - z - 4 z 2 1 - 4 z

d z d x x = - z - 4 z 2 1 - 4 z - z

d z d x x = - z - 4 z 2 - z 1 - 4 z 1 - 4 z

d z d x x = - z - 4 z 2 - z + 4 z 2 1 - 4 z

d z d x x = - 2 z 1 - 4 z

Essa equação vai ser separável.

Passo 3

Vamos resolver essa equação separável

d z d x x = - 2 z 1 - 4 z

Multiplicando cruzado para ter tudo com z de um lado e tudo com x do outro, vamos ter

1 - 4 z 2 z d z = - d x x

1 2 z - 2 d z = - d x x

Integrando dos dois lados

∫ 1 2 z - 2 d z = - ∫ d x x

ln ⁡ z 2 - 2 z = - ln ⁡ x + C

Passo 4

A solução dessa equação envolve na verdade x e y , então temos que voltar para y , lembrando que

y = z x

Temos

z = y x

E a nossa solução vai ser

ln ⁡ y x 2 - 2 y x = - ln ⁡ x + C

Passo 5

Agora temos que achar essa constante C fazendo o valor inicial que ele deu

y 1 = 2

Então

ln ⁡ 2 1 2 - 2 . 2 1 = - ln ⁡ 1 + C

ln ⁡ 2 2 - 4 = - ln ⁡ 1 + C

Então

C = ln ⁡ 2 2 - 4

C = ln ⁡ 2 2 - 4

E nossa solução vai ser

ln ⁡ y x 2 - 2 y x = - ln ⁡ x + ln ⁡ 2 2 - 4

Resposta

ln ⁡ y x 2 - 2 y x = - ln ⁡ x + ln ⁡ 2 2 - 4

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