Calculo 3 – UNICAMP – P1
Mostre que a seguinte equação é homogênea e resolva-a com a substituição :
Passo 1
Vamos a nossa questão! Ela é bem curtinha e direta ao ponto!
Precisamos primeiro mostrar que a EDO é homogênea (e o que seria isto?) e depois resolvê-la através da substituição . São algumas dúvidas, mas que resolveremos ao longo da questão.
Sendo assim, vamos começar com essa identificação. Afinal, o que é uma equação homogênea? Uma EDO é homogênea se a derivada puder ser escrita como função da razão , isto é,
Então, precisamos reorganizar a nossa EDO para que apareça a razão .
Para isto, vamos colocar a variável em evidência, tanto no numerador quanto no denominador. Com isto, vamos obter:
Pronto! Conseguimos escrever a nossa derivada como uma função de . Portanto acabamos de mostrar que a EDO é homogênea!
Passo 2
Agora temos que partir para a solução em sida EDO. Vamos ter que realizar a substituição . Para isto, vamos começar derivando esta relação. Portanto, aplicando a regra do produto,
Substituindo esta relação na nossa EDO, temos:
Passo 3
Para finalizarmos, vamos ter de integrar ambos os lados da equação anterior. Portanto,
Podemos resolver a primeira integral pelo método de frações parciais. Entretanto, também conseguimos resolve-la através de uma substituição. Para isto, vamos fazer:
Portanto, vamos ter a seguinte integral:
Integrando ambos os membros, temos:
Por fim, voltando para a variável , temos:
E assim finalizamos a questão!