Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

c ) cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d y + y cos 3 ⁡ x - 1 d x = 0 ,       0 < x < π

Passo 1

Para resolver esta EDO...

cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d y + y cos 3 ⁡ x - 1 d x = 0   →

Podemos começar dando uma arrumada na cara dela: pegando o d x e “dividir” todos os termos por ele...

cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d y d x + y cos 3 ⁡ x - 1 = 0   →

E agora fazer o mesmo com essa função que está multiplicando a derivada...

d y d x + y cos 3 ⁡ x - 1 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x = 0   →

y ' + cos ⁡ x sin ⁡ x y - 1 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x = 0   →

y ' + cos ⁡ x sin ⁡ x y = 1 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x

Repare que chegamos a uma EDO linear de ordem 1 ! Partiu resolvê-la?

Passo 2

Vamos começar encontrando fator integrante...

I x = e ∫ cos ⁡ x sin ⁡ x d x

∫ cos ⁡ x sin ⁡ x d x = ln ⁡ sin ⁡ x

I x = e ln ⁡ sin ⁡ x = sin ⁡ x

Agora, lembrando que a solução de uma EDO linear e de primeira ordem por fator integrante é assim:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C   →

y x = 1 sin ⁡ x ∫ sin ⁡ x 1 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x + C   →

Podemos primeiro calcular essa integral antes de substituir tudo...

∫ sin ⁡ x 1 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = ∫ 1 cos 2 ⁡ x d x =

Ora, 1 / cos 2 ⁡ x nada mais é do que a secante de x ao quadrado e sua integral é...

∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x

Perfeito, então a nossa solução é...

y x = 1 sin ⁡ x tan ⁡ x + C  

Resposta

y x = 1 sin ⁡ x tan ⁡ x + C

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