Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme seja o caso:

(c) x + y y d x - x 2 d y = 0

Passo 1

Olhando assim de cara pode parecer uma equação exata, mas se usarmos o critério de Euler não vai sair. Vamos então deixar na forma convencional dividindo tudo por d x :

x + y y d x - x 2 d y = 0

x + y y - x 2 d y d x = 0

Vamos isolar a derivada agora:

d y d x = x + y y x 2

Agora temos aqui uma EDO na cara de uma EDO homogênea. Para testar substituímos x → λ x e y → λ y :

d y d x = λ x + λ y λ y λ x 2 = λ 2 x + y y λ 2 x 2 = x + y y x 2

Nada mudou, o λ desapareceu, então sabemos que é de fato uma EDO homogênea.

Passo 2

Agora que sabemos que é uma EDO homogênea, vamos fazer a substituição: z ≔ y x

Ou seja:

y = z x

Assim, teremos:

d y d x = d z x d x = d z d x x + z

d y d x = x + z x z x x 2 = z + z 2

d z d x x + z = z x 2 + z 2 x 2 x 2

d z d x x + z = z + z 2

d z d x x = z 2

Passo 3

Agora temos uma EDO separável. Vamos colocar tudo que é z de um lado e tudo que é x do outro:

d z d x x = z 2

d z z 2 = d x x

E então integramos dos dois lados: ∫ d z z 2 = ∫ d x x

Sendo:

∫ d x x = ln ⁡ x + K 1

Agora, para essa integral podemos deixar o z em evidência: ∫ d z z 2 = - 1 z + K 2

Show, então vamos ter:

∫ d z z 2 = ∫ d x x

- 1 z + K 2 = ln ⁡ x + K 1

E definimos:

K ≔ K 1 - K 2

Ficando:

- 1 z = ln ⁡ x + K

Passo 4

Resolvida a EDO, podemos retornar para y que é o que problema pediu:

- 1 z = ln ⁡ x + K

- 1 y x = ln ⁡ x + K

- x y = ln ⁡ x + K

E é isso!

Resposta

- x y = ln ⁡ x + K

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