Encontre a solução geral y(t) da equação diferencial

dy/dt = (2 - e^t) / (3 + 2y)

Passo 1

Para encontrar a solução geral da equação diferencial:

d y d t = 2   -   e t 3   +   2 y  

Primeiro, vamos reorganizar a equação de modo que todas as variáveis y e t estejam de um lado e as constantes do outro lado:

( 3   +   2 y )   d y   =   ( 2   -   e t )   d t

Agora, podemos separar as variáveis y e t, colocando todos os termos relacionados a y no lado esquerdo e os termos relacionados a t no lado direito:

( 3   +   2 y )   d y   =   ( 2   -   e t )   d t

Passo 2

Agora, podemos integrar ambos os lados da equação:

∫ 3   +   2 y d y   =   ∫ 2   -   e t d t

Vamos calcular essas integrais:

∫ ( 3   +   2 y )   d y   =   3 y   +   y 2   +   C 1

∫ ( 2   -   e t )   d t   =   2 t   +   e t   +   C 2

Agora, nossa equação diferencial integrada fica assim:

3 y   +   y 2   +   C 1   =   2 t   +   e t   +   C 2

Aqui, C1 e C2 são constantes de integração que serão determinadas mais tarde.

Agora, podemos isolar y em um lado da equação:

y 2   +   3 y   =   2 t   +   e t   +   ( C 2   -   C 1 )

Passo 3

Agora, podemos tentar completar o quadrado no lado esquerdo para simplificar a equação:

y 2   +   3 y   +   3 2 2 =   2 t   +   e t   +   ( C 2   -   C 1 )   +   3 2 2

y   + 3 2 2   =   2 t   +   e t   +   C 2   -   C 1 + 9 4

Agora, podemos tomar a raiz quadrada de ambos os lados:

y   + 3 2 =   ± 2 t   +   e t +   C 2   -   C 1 + 9 4

Agora, isole y:

y   =   - 3 2 ±   2 t   +   e t +   C 2   -   C 1 + 9 4

Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

A constante C1 e C2 serão determinadas pelas condições iniciais ou pelas informações específicas do problema.

Resposta

y   =   - 3 2 ±   2 t   +   e t +   C 2   -   C 1 + 9 4

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