Equações Separáveis e homogêneas
Determine a solução geral da equação que satisfaz a condição inicial de
Passo 1
A primeira coisa a se fazer é identificar que tipo de EDO é essa. Vamos dividir tudo por :
Opa galera, já da pra ver de cara que se substituindo , mas tem que colocar em evidência pra isso:
É homogênea! Então vamos pro método de resolver EDO Homogênea!
Passo 2
Façamos , substituindo na EDO:
Cortando os termos iguais:
Continuando:
Mas sabemos que , então:
Que é uma EDO separável galera!!
Integrando de ambos lados:
Para resolver a primeira integral temos que lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:
Substituindo:
A segunda integral é:
Ok, só não esqueça da constante! Voltando:
Substituindo:
Substituindo :
Repara que a parada continuou com , e não ficou , isso acontecer porque trocamos a constante, multiplicar a constante por faz ela continuar sendo constante, por isso continuamos com a constante igual, no final dá no mesmo, só que deixando a conta fica menor.
Mas não esqueça que: , pois
Assim ficou:
Passo 3
Não esqueça da condição inicial : , substituindo:
Assim a Solução é:
Ou se preferir:
Logo: