Calculo 4 – UFPE – 1° EE
Resolve as seguintes equações diferenciais. No caso da letra a), resolve o problema de valor inicial associado.
Passo 1
Antes de começarmos a resolver a nossa EDO, vamos reescrever a nossa EDO. Portanto,
Pronto. Agora sim. Percebam que temos um caso de EDO homogênea. Isto é, podemos escrever como uma função de .
Para resolvermos estes casos, precisamos fazer uma substituição de variáveis. Vamos chamar . Portanto,
Substituindo esta relação na nossa EDO, vamos obter:
Passo 2
Após fazermos a mudança de variáveis, percebam que obtivemos uma EDO separável. Se não conseguem visualizar, vamos escrever . Com esta mudança, temos:
Em um membro temos tudo em função de e no outro tudo em função de . Se a gente integra ambos os membros, obtemos:
Estamos quase lá! Para finalizarmos a questão, precisamos, obrigatoriamente, voltar para as nossas variáveis originais. Portanto, se no lugar de a gente coloca , nós voltamos para as variáveis originais.
Sendo assim, temos:
E agora sim conseguimos resolver a nossa EDO.