UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2015.1, Questão 3
Resolva a equação
Passo 1
Oooi povo bonito, tudo bommmm?
Nessa questão temos mais uma EDO que precisamos matar:
Tem algo bem interessante que tá acontecendo nessa equação, e que não é uma simples coincidência. Vocês sabem o que éééé?
Então galera, o detalhe legal é que na equação está sempre aparecendo o termo junto.
Quando isso acontece, dizemos que a equação é do tipo homogênea. Pois:
A técnica pra resolver esse tipo de equação é chamar:
Assim:
Assim, vamos ficar com a seguinte equação:
Isso tudo nos ajudou bastante, porque agora caímos em uma EDO separável. Olha:
Nossa missão é resolver essa EDO separável e depois tirar o da jogada voltando para .
Passo 2
Bom, precisamos resolver a EDO:
Como trata-se de uma EDO separável, basta integrarmos dos dois lados:
Começando pela integral do lado esquerdo, precisamos usar o método das partes. Segundo ele:
Chamando:
Assim:
Excelente! Resolvendo agora a integral do lado esquerdo, vem:
Onde é uma constante (teoricamente poderíamos ter somado uma constante na integral da direita também, mas não é necessário somar duas vezes).
Assim, temos:
Vamos agora tirar o da jogada e voltar para .
Lembrando que:
Temos:
Prontinho! Chegamos à equação implícita para .
Eaí, isso de EDO tipo homogênea é uma dica muito boa né?
Boaaa! Valeeeu gente, até a próxima 😊