Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Passo 1

Para testar se é uma EDO homogênea mesmo, temos que pegar o x e o y da nossa EDO e substituir por λ x e λ y respectivamente. Se a EDO não mudar, ela é homogênea. Então nesse caso

y ' = x y + y x

d y d x = x y + y x

Fazendo a substituição

d λ y d ( λ x ) = λ x λ y + λ y λ x  

d y d x = x y + y x

A EDO permanece a mesma, logo ela é homogêna.

Passo 2

Agora, para resolver vamos utilizar a substituição

z = y x → y = z x

E vamos precisar de

d y d x = d z d x x + z d x d x = x d z d x + z

Fazendo a substituição

d y d x = x y + y x

x d z d x + z = 1 z + z

Manipulando um pouco nossa expressão

x d z d x = 1 z

Repare que a EDO se tornou separável

z   d z = d x x

E para resolver basta integrar dos dois lados da equação

∫ z   d z = ∫ d x x

Passo 3

Resolvendo a integral

∫ z   d z = z 2 2

Já do outro lado a expressão

= ∫ d x x = ln ⁡ x + C '

Note que teremos constantes de integração dos dois lados da equação, mas para facilitar a vida, é melhor juntar em apenas uma constante C ' .

Passo 4

Resolvidas as integrais, vamos juntar tudo na mesma expressão

∫ z   d z = ∫ d x x

z 2 2 = ln ⁡ x + C '

Manipulando mais um pouco chegaremos em

z 2 = 2 ( ln ⁡ x + C ' )

Agora podemos desfazer aquela substituição lá do inicio

z = y x

y 2 x 2 = 2 ( ln ⁡ x + C ' )

E ficamos com

y 2 = 2 x 2 ( ln ⁡ x + C )

Prontinho!

Resposta

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