UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Listas da Prof. Thaís Dalbelo - Lista 1, Questão 8
Mostre que, se e são constantes positivas e se é qualquer número real, então toda
solução da equação
tem a propriedade que quando então . Sugestão, analise os casos onde separadamente.
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão.
Nosso objetivo é verificar se a equação diferencial
tem como propriedade que se então . Como podemos verificar essa propriedade? Bem, precisamos da solução geral da equação diferencial. Vamos calcular a solução geral por meio do método do fator integrante.
Primeiro, precisamos obter a solução geral da equação diferencial. Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. O método funciona da seguinte forma:
Pegamos o lado esquerdo da equação diferencial e multiplicamos por uma função . Então temos:
Agora vem a parte legal, nós supomos que a função é tal que:
Ou seja, queremos que a derivada de seja igual a parte esquerda da nossa equação diferencial após multiplicarmos por . Isto é igual a . Dessa forma, podemos fazer o seguinte desenvolvimento.
Que uma equação diferencial clássica. Temos que
Essa mu é chamada de fator integrante. Depois que descobrimos quem é essa , basta substituir em e descobrimos quem é . Vamos a luta!!!
Passo 2
Vamos começar calculando a função do método. Lembrando que:
Se a gente comparar a nossa equação diferencial
com
,
temos que:
Ou seja,
Como a equação que queremos resolver é
temos que
Substituindo na equação abaixo para poder encontrar
temos:
Agora separamos em dois casos: No caso onde
integrando dos dois lados temos:
No caso onde , descobrimos que a solução geral é
Agora precisamos verificar se vale a condição se então .
pela linearidade do limite:
(pois o denominador é uma exponencial)
Logo se então
Passo 3
Agora vamos ver o caso onde
integrando dos dois lados temos:
No caso onde , descobrimos que a solução geral é
Agora precisamos verificar se vale a condição se então .
pela linearidade do limite:
(pois a primeira parcela é uma exponencial com parâmetro negativo, e a segunda tem o denominador é uma exponencial)
Logo se então
Ou seja, conseguimos mostrar que a solução da equação diferencial
satisfaz que se então
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊