Equações Separáveis e homogêneas
Determine a solução da equação
Que satisfaz a condição inicial
Passo 1
Essa equação é algo muito louco. Vamos isolar para ver se aparece alguma coisa
Opa, temos duas vezes , então é interessante olharmos se essa função é homogênea.
Para isso primeiro temos que achar que vai ser encontrada isolando
Assim temos
Agora fazemos para ver se é igual a ,
Logo vamos ter
E essa equação vai ser homogênea
Passo 2
Para resolver uma equação homogênea nos fazer
Logo
Substituindo isso na equação vamos ter
Arrumando essa equação
Essa equação vai ser separável.
Passo 3
Vamos resolver essa equação separável
Multiplicando cruzado para ter tudo com de um lado e tudo com do outro, vamos ter
Integrando dos dois lados
Aqui podemos isolar
Passo 4
A solução dessa equação envolve na verdade e , então temos que voltar para , lembrando que
Temos
E a nossa solução vai ser
Passo 5
Agora temos que achar essa constante fazendo o valor inicial que ele deu
Então
Então
E nossa solução vai ser
Repara que ele deu um valor inicial de que é maior que então temos que considerar
E a nossa solução vai ficar
É Importante lembrar também que aquele cara dentro do segundo log precisa ser positivo
Assim
Resposta
Com