UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2022.2, Questão 5
Um tanque de 120 litros de água contem 10kg de sal. Você o irriga com água limpa a uma taxa de 2 litros por minuto e deixa a mistura escoar com a mesma vazão. Encontre uma fórmula que expressa a quantidade de sal (em kilos) no tempo t (em minutos).
Passo 1
Olaa, bora resolver essa comigo?
Para encontrar uma fórmula Q(t) que expressa a quantidade de sal (em quilos) no tempo t (em minutos), podemos usar um modelo de taxa de variação. Vamos quebrar o problema em etapas.
Inicialmente, temos 10 kg de sal no tanque de 120 litros de água. Portanto, a concentração inicial de sal (C0) é de .
Agora, a água é irrigada no tanque a uma taxa de 2 litros por minuto, e a mistura é escoada com a mesma vazão. Isso significa que a taxa de entrada de água limpa no tanque é 2 litros por minuto, e a taxa de saída de líquido (que contém a mistura de sal e água) também é de 2 litros por minuto.
Portanto, a taxa de mudança da quantidade de sal no tanque é igual à taxa de entrada de sal (entrada de água limpa com concentração zero de sal) menos a taxa de saída de sal (taxa de saída da mistura de sal e água).
A taxa de entrada de sal é zero, pois a água limpa não contém sal (0 kg/L). A taxa de saída de sal é calculada multiplicando a concentração atual de sal no tanque (C) pela taxa de saída de líquido (2 litros por minuto):
Passo 2
Agora, precisamos encontrar uma expressão para C em termos de Q. A quantidade total de líquido no tanque é constante em 120 litros, então podemos usar essa informação para encontrar C em termos de Q:
Como a concentração inicial de sal (C0) é de , a concentração atual de sal (C) em relação a Q pode ser escrita como:
Agora, podemos substituir essa expressão para C na equação da taxa de mudança:
Agora temos uma equação diferencial que relaciona a taxa de mudança da quantidade de sal (dQ/dt) à quantidade de sal presente no tanque (Q). Essa é uma equação diferencial separável. Para resolvê-la, podemos separar as variáveis e integrar:
Passo 3
Agora, integramos ambos os lados:
Podemos resolver a integral à esquerda usando uma fração parcial. Após a integração, você terá uma expressão para Q em função de t (Q(t)).
No entanto, a integral à esquerda pode ser um pouco complicada, e a solução será dada implicitamente.
A partir dessa fórmula, você poderá calcular a quantidade de sal no tanque em qualquer momento t dado em minutos.
Passo 4
Primeiro, resolvamos a integral à esquerda usando frações parciais:
Usaremos frações parciais para decompor a expressão em frações mais simples:
Agora, multiplique ambos os lados da equação por para igualar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Comece substituindo Q = -10 para eliminar B:
Passo 5
Agora, substitua Q = 120 para eliminar A:
Agora que temos os valores de A e B, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Agora, podemos prosseguir com a integração:
Agora, integre ambos os lados:
Passo 6
A integral à esquerda é uma soma de duas integrais simples:
Agora, resolvemos cada integral separadamente:
Agora, simplificamos a equação:
Combine os termos de logaritmo:
Agora, podemos eliminar o logaritmo aplicando exponenciação em ambos os lados:
Agora, podemos considerar duas possibilidades para a parte esquerda da equação:
Passo 7
**Primeira Possibilidade:**
Agora, vamos resolver essa equação para Q em termos de t:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos de Q:
Dividindo por 2:
Essa é a primeira solução completa para Q(t) com base na primeira possibilidade.
Passo 8
**Segunda Possibilidade:**
Novamente, vamos resolver essa equação para Q em termos de t:
Multiplicando ambos os lados por -1 para eliminar o sinal negativo:
Agora, podemos resolver essa equação de maneira semelhante à primeira possibilidade:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos de Q:
Dividindo por 2:
Esta é a segunda solução completa para Q(t) com base na segunda possibilidade.
Lembre-se de que a constante de integração C1 depende das condições iniciais do problema.
Portanto, para uma solução específica, você precisaria conhecer os valores das condições iniciais para determinar o valor de C1.