Equações Separáveis e homogêneas
Dada a equação
a)Mostre que essa equação diferencial é homogênea e diga qual a substituição que pode ser utilizada para torná-la separável.
b)Resolva a equação
Passo 1
a)
Vamos lá, eu quero que você pense no seguinte, imagine que e tem a mesma unidade, concorda então que você está somando coisas com a mesma unidade e dividindo por uma coisa que tem a mesma unidade? Então esse cara não tem unidade, a gente chama isso de adimensional. Sempre que você tiver uma edo e esse for adimensional, a gente fala que essa EDO é homogênea!
Mas matematicamente temos que provar isso, e como provar isso?
Vamos fazer aquele teste de que:
Então a EDO é homogênea! Vamos lá
Como esperado, homogênea! Se fosse uma edo do tipo , os termos do numerador não tem a mesma unidade de cara, você ta somando maçã com banana, então já vai dar ruim, sacou? Mas sempre faça o teste que fizemos agora que ele não tem erro!
Passo 2
Então agora que sabemos que é homogênea, vamos fazer a substituição :
Assim:
Substituindo:
Jogando para o lado direito:
Nós conseguimos jogar tudo que tem z pra um lado e tudo que tem x pro outro. Por isso: é uma EDO separável! Repare que, mesmo z sendo uma função de x e y, como estamos usando uma mudança de variáveis a EDO é mesmo separável.
Passo 3
b)
Agora vamos resolver essa EDO separável, primeiro reescreva :
Passa tudo que tem para um lado e tudo que tem para o outro:
Bem bem, para resolver essa integral do lado esquerdo você vai ter que abrir o quadrado perfeito e abrir em frações parciais... mas vamos lá, integrando de ambos os lados:
Vamos resolver a primeira integral:
Como o denominador tem um polinômio de ordem maior que a do numerador, podemos fazer frações parciais, para isso vamos decompor o , sabemos que a soma das raízes e produto , então as razíes são , você pode resolver por discriminante se quiser! Assim ficou: , então podemos escrever:
Igualando os termos:
Fazendo um paranauê na segunda equação
Podemos substituir nela e pá :
E por fim
Então ficamos com o seguinte:
Logo a integral fica:
A outra integral é
Assim era:
Substituindo os resultados:
Como , e consequentemente , podemos tirar os módulos:
Usando a regra do peteleco e chamando , onde é outra constante qualquer
Usando a regra da soma:
Isso só é verdade se os termos dentro dos logaritmos forem iguais:
Não esquece de voltar pra !
Substituindo
Tchã! Finish!