UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2022.2, Questão 4
Sem resolver a equação, esboce as soluções de
Passo 1
Oiee bora resolver essa comigo?
Para esboçar as soluções da equação diferencial
podemos usar a análise qualitativa.
Vamos procurar pelos pontos críticos, onde a derivada é zero, e traçar algumas curvas de direção para entender o comportamento das soluções.
A equação diferencial dada é:
Primeiro, encontremos os pontos críticos, onde :
Fatorando , obtemos:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Passo 2
Agora, vamos traçar algumas curvas de direção:
1. Quando y > 0:
é negativo, o que significa que a inclinação das curvas é negativa.
As soluções tenderão a diminuir à medida que você se move para a direita.
2. Quando
é positivo, o que significa que a inclinação das curvas é positiva.
As soluções tenderão a aumentar à medida que você se move para a direita.
Passo 3
3. Quando
é negativo novamente, então as soluções tenderão a diminuir à medida que você se move para a direita.
Agora, vamos considerar os pontos críticos:
- Para , o que significa que as soluções podem ser horizontais neste ponto.
- Para , novamente, as soluções podem ser horizontais neste ponto.
Portanto, as soluções da equação diferencial podem ser curvas que tendem a diminuir à medida que você se move para a direita, com pontos críticos em , onde as soluções podem ser horizontais.
A natureza exata das curvas dependerá das condições iniciais específicas.
Resposta
Vide o passo a passo.