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Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Resolva a seguinte equação diferencial

b)

d y d x = x 2 + 3 y 2 2 x y

Passo 1

Essa equação ta com muita cara de homogênea. Vamos calcular f ( λ x , λ y ) e descobrir.

d y d x = λ x 2 + 3 λ y 2 2 λ x λ y = x 2 + 3 y 2 2 x y

f λ x , λ y = f ( x , y )

Logo essa equação é homogena e podemos usar a mudança de variável y = u x

Passo 2

Fazendo então a mudança e lembrando que u = u x . Derivando em relação a x obtemos

d y d x = u + x d u d x

Substituindo isso na equação original temos

u + x d u d x = 1 + 3 u 2 2 u ⇒ x d u d x = 1 + 3 u 2 2 u - u ⇒ x d u d x = 1 + u 2 2 u ⇒ x   d u = 1 + u 2 2 u   d x

1 1 + u 2 2 u   d u = 1 x   d x ⇒ 2 u 1 + u 2   d u = 1 x   d x

Passo 3

Essa é a equação mais legal que pode aparecer na nossa vida! É só integrar dos dois lados e ser feliz.

2 u 1 + u 2   d u = 1 x   d x

Vamos precisar fazer uma substituição simples para integrar em u , que eu acredito que você já está savando muito.

∫ 2 u 1 + u 2 d u

Fazendo u - = 1 + u 2 temos d u - = 2 u   d u que “para nossa alegria”já está lá. Então a integral fica

∫ 2 u 1 + u 2 d u = ∫ 1 u - d u - = ln ⁡ u - = ln ⁡ 1 + u 2

Passo 4

Estamos chegando ao fim...

2 u 1 + u 2   d u = 1 x   d x

∫ 2 u 1 + u 2   d u = ∫ 1 x d x

ln ⁡ 1 + u 2 = ln ⁡ x + c 1

Passo 5

Voltando para as variáveis originais

ln ⁡ 1 + y x 2 = ln ⁡ x + c 1

ln ⁡ x 2 + y 2 x 2 = ln ⁡ x + ln ⁡ c

ln ⁡ x 2 + y 2 x 2 = ln ⁡ c x

Resposta

Logo as soluções da equação diferencial são dadas implicitamente pela equação

ln ⁡ x 2 + y 2 x 2 = ln ⁡ c x

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