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Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Resolva a equação diferencial

y + 2 x y - x d y d x = 0  

Passo 1

Essa equação tá com muita cara de homogênea, né? Vamos calcular f ( t x , t y ) e descobrir.

t y + 2 t x t y - t x d y d x = 0

t y + 2 t x y - t x d y d x = 0

t y + 2 x y - x d y d x = 0

E esse cara entre parênteses nada mais é que o nosso f ( x , y ) , correto? Logo

f t x , t y = t f ( x , y )

A nossa equação é homogênea e podemos usar a substituição y = u x !

Passo 2

Fazendo a substituição y = u x e derivando temos

d y d x = d d x u x = u ' x + u

Jogando na nossa EDO

y + 2 x y - x d y d x = 0 → u x + 2 x u x - x u ' x + u = 0

Vários xuxuzinhos nessa equação kkkkk! Temos que fazer a separação de variáveis, mas como tá uma bagunça vamos isolar u ' primeiro!

u x + 2 x u x - x u ' x + u = 0

u x + 2 x u - x u ' x + u = 0

2 x u - x u ' x + u = - u x

u ' x + u = - u x 2 x u - x

u ' x + u = - u x x 2 u - 1

u + x u ' = - u 2 u - 1

Tamo chegando!

u ' x = - u 2 u - 1 - u

= - u 1 2 u - 1 + 1

= - u 1 + 2 u - 1 2 u - 1

= - u 2 u 2 u - 1

Agora sim

u ' = - 1 x 2 u u 2 u - 1

Ficou super top!

Passo 3

Pra facilitar o manuseio a gente volta a escrever u ' = d u / d x

d u d x = - 1 x 2 u u 2 u - 1

Agora joga tudo que é x pra direita e tudo que é u pra esquerda \o\

d u 2 u - 1 2 u u = - d x x

Tá ficando bonito! :D

Passo 4

Agora basta integrar dos dois lados

∫ 2 u - 1 2 u u d u = - ∫ 1 x d x

Vamos resolver a primeira integral

∫ 2 u - 1 2 u u d u

Podemos resolve-la por substituição

v = u 1 \ 2 → u = v 2

Derivando

d v = 1 2 u - 1 / 2   d u

d v = 1 2 u 1 / 2 d u

Voltando a integral

∫ 2 v - 1 v 2 d v = 2 ln ⁡ v + 1 v + C

Voltando para u

2 ln ⁡ v + 1 v = 2 ln ⁡ u 1 / 2   + 1 u + C = ln ⁡ u + 1 u + C

Passo 5

Já a integral do lado direito

- ∫ 1 x d x = - ln ⁡ x

Passo 6

Voltando para aquela nossa equação

∫ 2 u - 1 2 u u d u = - ∫ 1 x d x

Vamos ter

ln ⁡ u + 1 u + C = - ln ⁡ x

ln ⁡ u + u - 1 / 2 + C = - ln ⁡ x

u - 1 / 2 + C = - ln ⁡ x - ln ⁡ u = - ln ⁡ u x = ln ⁡ 1 u x

Usando a definição do logaritmo

1 u x = e u - 1 / 2 + C = e C e u - 1 / 2 = A e u - 1 / 2

Onde eu chamei e C de A já que esse dois são números e ficamos com essa expressão mais simpática

1 x = u A e u - 1 / 2

Passo 7

Pra finalizar, vamos voltar para a variável y

y = u x → u = y x

Assim

1 x = y x A e y / x - 1 / 2

Como y / x - 1 / 2 = x / y , podemos deixar essa equação um pouco mais simpática

1 = y A e x / y

Nessa equação não dá pra isolar y totalmente, mas dá pra fazer isso aqui ó

y = A e - x / y

Lembrando que A é uma constante qualquer!

Resposta

y = A e - x / y

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