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Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral y = y ( x ) das seguintes EDOs:

( b )   y ' = 2 x - y x + 4 y

Passo 1

Na letra ( b ) , aparece apenas o y ' de novo. Então, temos uma EDO de primeira ordem de novo!

Essa equação tá com muita cara de ser homogênea, pois ela tem uma soma de x e y no numerador e no denominador... Bora calcular f ( t x , t y ) e descobrir.

y ' = 2 ( t x ) - ( t y ) ( t x ) + 4 ( t y ) = 2 x - y x + 4 y

f ( t x , t y ) = f ( x , y )

Opa! Podemos dizer que esta é uma EDO homogênea e usar a mudança de variável y = u x .

Passo 2

Fazendo a mudança e lembrando que u = u ( x ) . Derivando em ambos os lados com respeito a x , temos que:

y ' = u + x u '

Substituindo isso na equação original, ficamos com:

u + x d u d x = 2 x - u x x + 4 u x u + x d u d x = 2 - u 1 + 4 u   ⇒ x d u d x = 2 - 2 u - 4 u 2 1 + 4 u

  ⇒ ( 1 + 4 u ) ( 2 - 2 u - 4 u ² ) d u = 1 x d x

Passo 3

Essa é a equação mais maravilhosa que pode aparecer!

( 1 + 4 u ) ( 2 - 2 u - 4 u 2 ) d u = 1 x d x

Agora, basta integrar nos dois lados.

∫ ( 1 + 4 u ) ( 2 - 2 u - 4 u ² ) d u = ∫ 1 x d x

Vamos precisar fazer uma substituição para poder integrar em u .

Fazendo v = 2 - 2 u - 4 u ² , temos d v = - 2 - 8 u .

1 + 4 u = - d v 2

∫ ( 1 + 4 u ) ( 2 - 2 u - 4 u ² ) d u = - 1 2 ∫ 1 v d v = - 1 2 l n   | v |   = - 1 2 l n   | 2 - 2 u - 4 u 2 |   + C

Então, nossa integral ficou assim:

∫ ( 1 + 4 u ) ( 2 - 2 u - 4 u ² ) d u = ∫ 1 x d x

- 1 2 l n   | 2 - 2 u - 4 u 2 |   + C = l n   | x |   + D

Lembrando que essas constantes C e D serão subtraídas, gerando outra constante. Então chamaremos de E apenas pra você ver que não fiz evaporar aquelas constantes C e D .

- 1 2 l n   | 2 - 2 u - 4 u 2 |   = l n   | x |   + E   ⇒ l n   | x |   + l n ⁡ | 2 - 2 u - 4 u 2 | 1 2 + E = 0

l n   ( x ( 2 - 2 u - 4 u 2 ) 1 2 )   = E   ⇒ x ( 2 - 2 u - 4 u 2 ) 1 2 = e E   ⇒ x 2 ( 2 - 2 u - 4 u 2 ) = E

Como e E é também outra constante, podemos continuar chamando de E , não fará diferença alguma! Substituindo y = u x   ⇒ u = y x na equação acima:

x 2 ( 2 - 2 y x - 4 y 2 x 2 ) = E   ⇒ 2 x 2 - 2 x y - 4 y 2 = E   ⇒ x 2 - x y - 2 y 2 = K

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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