UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P2 - 2022.2, Questão 2
Encontre a solução geral da equação:
Passo 1
Falaii galerinhaaa bora resolver essa comigo?
Para encontrar a solução geral da equação diferencial
primeiro, é necessário encontrar a solução homogênea da equação associada e, em seguida, encontrar uma solução particular da equação original.
A soma da solução homogênea e da solução particular dará a solução geral.
**1. Solução Homogênea:**
A equação homogênea associada é:
A característica da equação é dada pela equação característica:
Essa equação característica tem uma raiz repetida:
Portanto, a solução homogênea é da forma:
Passo 2
**2. Solução Particular:**
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original:
Vamos assumir uma solução particular na forma da função especial multiplicada por outra função, que deve ser determinada:
Agora, calcule as derivadas necessárias para encontrar
Substitua essas derivadas na equação original:
Simplificando:
Agora, podemos isolar a parte da variável v(x):
Integrando ambos os lados em relação a x duas vezes, obtemos:
A primeira integral é:
A segunda integral é:
Portanto, a solução particular é:
Passo 3
**3. Solução Geral:**
Agora que temos a solução homogênea e a solução particular, a solução geral da equação diferencial é a soma dessas duas soluções:
A solução geral é dada por: