Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Classifique as afirmativas abaixo onde é uma matriz tal que :

– não pode ser injetiva.

– não pode ser sobrejetiva.

a) Ambas são falsas.

b) é verdadeira e é falsa.

c) Ambas são verdadeiras.

d) é falsa e é verdadeira.

e) Não sei.

Passo 1

O enunciado nos diz que , isso é, a dimensão de é menor do que a dimensão do aplicado na sua transposta. Isso quer dizer que a matriz transposta de possui mais linhas, e consequentemente, possui mais colunas.

Então vamos analisar as afirmativas beleza?

Passo 2

Analisando as afirmativas:

– Falsa!! Nada impede ela de ser injetiva porque olha, pra ela ser injetiva basta que a dimensão do núcleo seja 0, e isso não é necessariamente falso pra esse caso :D

– Verdadeira!! Para ser sobrejetiva, a dimensão da imagem deve ser igual à do contradomínio, o que não é o caso, já que vimos que tem um número diferente de linhas e colunas ;)

Entãoo, a alternativa correta é a letra D de dado :P

Resposta

d) é falsa e é verdadeira.

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Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3

Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0

Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .