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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P2, Q6

Considere as bases

B = 1 + x ,   1 - x 2 ,   2 x + x 2           e           C = { 1,0 , 1,1 , 0,1 , 2,3 , 1 , - 1,1 , 1 , 0,0 , 2,1 }

Dos espaços vetoriais P 2 ( R ) e R 4 , respectivamente. Sejam a ∈ R e T : P 2 R → R 4 a transformação linear tal que:

T B C = 1 0 1 a 1 1 2 1 3 3 1 4

Temos que T é injetora se, e somente se:

Escolha uma opção:

  1. a > 0
  2. a ≠ 0
  3. a = 2
  4. a ≠ 1
  5. a ≠ - 1

Passo 1

Falaaaaa, pessoal! A transformação é injetora se, e somente se, K e r T = { 0 } . Assim, analisemos esse conjunto usando a matriz. Para u = u 1 , u 2 , u 3 t , tal que T B C u = 0 , temos:

1 0 1 a 1 1 2 1 3 3 1 4 u 1 u 2 u 3 = 0 0 0 0

⇒ u 1 + u 3 a u 1 + u 2 + u 3 2 u 1 + u 2 + 3 u 3 3 u 1 + u 2 + 4 u 3 = 0 0 0 0 ⇒

⇒ u 1 = - u 3 u 2 + 1 - a u 3 = 0 u 2 + u 3 = 0 u 2 + u 3 = 0 ⇒ u 1 + u 3 = 0 u 2 + 1 - a u 3 = 0 u 2 + u 3 = 0             L 3 ' → L 3 - L 2 ⇒  

⇒ u 1 + u 3 = 0 u 2 + 1 - a u 3 = 0 a u 3 = 0

Logo, se o determinante da matriz de coeficientes for ≠ 0 , teremos que o sistema homogêneo é possível e determinado, ou seja, solucionado apenas pela solução trivial u 1 , u 2 , u 3 = ( 0,0 , 0 ) . Para isto, é necessário:

1 0 1 0 1 1 - a 0 0 a = a ≠ 0

Com isto imposto, garantimos que , K e r T = { 0 } e T é injetora.

Resposta

b. a ≠ 0

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