USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 08
08) Considere as seguintes afirmações:
existe uma transformação linear tal que:
se for um espaço vetorial de dimensão finita e for uma transformação linear tal que , então:
existe uma transformação linear bijetora .
Assinale a alternativa correta:
a) apenas as afirmações e são verdadeiras.
b) todas as afirmações são falsas;
c) apenas a afirmação é verdadeira;
d) apenas as afirmações e são verdadeiras;
e) apenas a afirmação é verdadeira.
Passo 1
Eaí galerinha, como vocês estão?
Mais uma questãozinha clássica de álgebra linear, com várias afirmações para nós avaliarmos. Bora analisar uma de cada vez!
Essa afirmação fala que existe uma transformação linear , com domínio e contradomínio em , tal que:
Eaí? Será que é verdade?
Bom, pensa comigo, se , também vale que:
Mas, pelo Teorema fundamental da álgebra sabemos também que:
O nosso domínio é , qual que é a dimensão desse espaço?
Então, dimensão de espaço de polinômios é bem tranquila de calcular. É só a gente pegar o grau máximo dos polinômios nesse espaço e somar . Ou seja:
Daí, voltando pra equação do nosso teorema fundamental, vamos ter que:
Pois é galera! Isso não pode, a dimensão é sempre um número inteiro. Fechou?
Logo, a afirmação é falsa!!
Passo 2
Na segunda afirmação temos um espaço de dimensão finita e uma transformação linear , com domínio e contradomínio em , tal que . A afirmação diz que, se tudo isso for verdade, então:
Parece complicado né? Mas vamos com calma, qual o teorema que relaciona , e ?
Esse tem que estar no sangue hein galera! É o Teorema Fundamental da Álgebra! Segundo ele:
Massa! Então já vemos que uma abordagem legal pra esse problema é pensar nas dimensões.
Bora então calcular e tentar chegar que isso, de fato, vale . Beleza?
É tipo o cálculo de elementos de um conjunto, precisamos descontar a intersecção 😉
Só que, pelo enunciado, sabemos que:
Logo:
Substituindo, vamos ter que:
Agora sim, pelo teorema fundamental da álgebra, chegamos que:
Daí, como está contido em , segue que dessas duas informações que:
Bouaaaa! Então a afirmação é verdadeira 😊
Passo 3
Pra terminar a questão, a terceira afirmação fala que existe uma transformação linear bijetora com domínio em e contradomínio em .
Puts, mas o que é uma transformação bijetora?
Hahaha é uma transformação que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, verdade. Mas, vamos um pouco mais fundo, quando que uma transformação é injetora e quando que ela é bijetora?
Pra ser injetora devemos ter:
Pra ser sobrejetora devemos ter:
Massa! Vamos supor então que realmente exista uma transformação segundo as condições da afirmação . Assim:
Beleza! A dimensão de uma matriz é o produto do número de linhas pelo de colunas, logo:
Pra testar se tudo isso realmente pode acontecer, devemos verificar se o Teorema Fundamental da álgebra permanece válido. O domínio é , logo:
Daí, aplicando o teorema devemos ter que:
Substituindo os valores:
Ué, isso é um absurdo né? Ou seja, a afirmação não pode ser verdadeira.
Bommm!! Com isso finalizamos mais uma questão, pessoal. Vocês entenderam direitinho?!
Obrigado pela atenção, tamo junto 😉
Resposta
Letra E.